热门试卷

解：（I）设P（x，y），则化简得x2﹣=1（y≠0）；

（II）①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x﹣2）（k≠0）

与双曲线x2﹣=1联立消去y得

（3﹣k2）x2+4k2x﹣（4k2+3）=0

由题意知3﹣k2≠0且△＞0

设B（x1，y1），C（x2，y2），则

y1y2=k2（x1﹣2）（x2﹣2）=k2[x1x2﹣2（x1+x2）+4]=k2（+4）=

因为x1、x2≠﹣1

所以直线AB的方程为y=（x+1）

因此M点的坐标为（）

，

同理可得

因此==0

②当直线BC与x轴垂直时，直线方程为x=2，则B（2，3），C（2，﹣3）

AB的方程为y=x+1，

因此M点的坐标为（），

同理可得

因此=0

综上=0，即FM⊥FN

故以线段MN为直径的圆经过点F．

解：(Ⅰ)依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0＜a2＜4），

将点（3，）代入上式，

得，解得a2=18（舍去）或a2=2，

故所求双曲线方程为。

(Ⅱ)依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，

代入双曲线C的方程并整理，得(1-k2)x2-4kx-6=0，

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴，

∴k∈，

设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由①式得x1+x2=，

于是|EF|=

=，

而原点O到直线l的距离d=，

∴SΔOEF=，

若SΔOEF=2，即，

解得k=±，满足②，

故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=。

解：（1）因为焦点到其相应准线的距离为，所以，，

又因为过点A（0，-b）B（a，0）的直线与原点的距离为，

可设直线方程为，

由点到直线的距离公式得，

解得：，b=1，

所以双曲线方程为。

（2）假设存在直线与双曲线交于相异两点C，D，使得C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上，

则，化简，得，

所以，，

因为C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上；所以有|AC|=|AD|，

所以直线CD的中点坐标为，

因为AM⊥CD，

所以，解得，

所以，直线的方程为。

（1）∵定点A（1，0），定直线l：x=5，

动点M（x，y），M到点A的距离与M到直线l的距离之比为，

∴根据椭圆定义：M的轨迹为椭圆，其中c=1，e==，

∴a=∴b==2∴则C1轨迹方程为：．

（2）∵C1轨迹方程为：，

∴C1的焦点为：（1，0），（﹣1，0），

C1的顶点为：（，0），（﹣，0）

由题意可知：C2为双曲线则a′=1，c'=，则b′==2，

∴C2轨迹方程为：x2﹣=1．

（3）当直线m的斜率不存在时，m的方程为：x=，

它与C2：x2﹣=1交于P（，﹣4）和Q（），得到得弦|PQ|=8．

当直线m的斜率存在时，m的方程为y=k（x﹣），联立方程组，

消去y，整理得，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∴弦|PQ|长度为8，

∴=8，解得k=，

∴直线m的方程为x=或y=（x﹣）．

解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，

且，易知b=1，

故曲线E的方程为，

设，由题意建立方程组，

消去y，得，

又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，

有，解得，

（Ⅱ）∵

，

依题意得，

整理后得，

∴，

但，

∴，

故直线AB的方程为，

设，由已知，得，

∴，

又，

∴点，

将点C的坐标代入曲线E的方程，得，得m=±4，

但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意；

∴m=4，点C的坐标为，

C到AB的距离为，

∴△ABC的面积。

解：（1）∵点A（﹣1，0），B（1，0），动点P（x，y），

∴ ， ，

∵PA与PB的斜率之积为3，

∴ ，x≠±1，

∴ ．

（2）①设∠CFB=α，∠CBF=β，β为锐角， 

则tanα= ，tanβ= ， ，

∴tan2β= = = =tanα．

②由题意C（x1，y1），y1＞0，D（x2，y2），y2＜0，

联立 ，得（3m2﹣1）y2+6mby+3b2﹣3=0，

则△=12（b2+3m2﹣1）＞0， ， ，

∵k= ，∴ ，∴3m2﹣1＜0，

故 ，

设∠DFB=γ，∠DBF=θ，

∵ ，tan ， ，

∴tan2θ= = =﹣ =tanγ，

∵2θ∈（0，π），γ∈（0，π），

∴γ=2θ，即∠DFB=2∠DBF，

∵α，2β∈（0，π），

∴由（2）①得α=2β，即∠CFB=2∠CBF，

又∠DFB=2∠DBF，

∴∠FCB与∠FDB互补，即∠FCB+∠FDB=π，

∴2π﹣3∠CBF﹣3∠DBF=π，则 ，

由到角公式，得 = ， ∴ = ，

即 ，

∴3m2﹣1=4b+4，

∴3m2﹣4b=5（定值）．

解：（1）设双曲线C2的方程为

则a2=4-1=3，c2=4，

再由a2+b2=c2，得b2=1，

故C2的方程为。

（2）将代入

得（1-3k2）x2-6kx-9=0

由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得

∴且k2＜1 ①

设A（x1，y1），B（x2，y2）

则

∴x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+）（kx2+）

=（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+2=

又∵

得x1x2+y1y2>2

∴，即

解得 ②

由①②得

故k的取值范围为。

解：（1）设M的坐标为（x，y），显然有x＞0，且y≠0 当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）

当∠MBA≠90°时，x≠2，

由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA= ，

化简可得3x2-y2-3=0 而

点（2，±3）在曲线3x2-y2-3=0上

综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0（x＞1）；

（2）直线y=-2x+m与3x2-y2-3=0（x＞1）联立，

消元可得x2-4mx+m2+3=0①

∴①有两根且均在（1，+∞）内

设f（x）=x2-4mx+m2+3，

∴，

∴m＞1，m≠2

设Q，R的坐标分别为（xQ，yQ），（xR，yR），

∵|PQ|＜|PR|，

xR=2m+，xQ=2m-，

∴==

∵m＞1，且m≠2

∴，且

∴，且

∴的取值范围是（1，7）∪（7，7+4）。

解：（Ⅰ）由题意，，

解得a=1，c=，

b2=c2﹣a2=2，

∴所求双曲C的方程．

（Ⅱ）P（m，n）（mn≠0）在x2+y2=2上，

圆在点P（m，n）处的切线方程为y﹣n=﹣（x﹣m），

化简得mx+ny=2．

以及m2+n2=2得

（3m2﹣4）x2﹣4mx+8﹣2m2=0，

∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B，且0＜m2＜2，

3m2﹣4≠0，且△=16m2﹣4（3m2﹣4）（8﹣2m2）＞0，

设A、B两点的坐标分别（x1，y1），（x2，y2），

x1+x2=，x1x2=．

∵，

且

=x1x2+[4﹣2m（x1+x2）+m2x1x2]

=+[4﹣+]

=﹣=0．

∴∠AOB的大小为900．