热门试卷

解：（Ⅰ）由题意，整理得，

所以所求轨迹E的方程为；

（Ⅱ）当直线l与x轴重合时，与轨迹E无交点，不合题意；

当直线l与x轴垂直时，l：x=1，此时，

以MN为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为，不合题意；

当直线l与x轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线l：y=k（x-1）（k≠0），

M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点，

由消y得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，

由得，

所以，

则线段MN的中垂线m的方程为，

整理得直线m：，

则直线m与y轴的交点，

注意到以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，当且仅当RM⊥RN，

即，

，①

由，②

将②代入①解得k=±1，即直线l的方程为y=±（x-1）；

综上，所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0。

解：（1）设，

由已知得到，且，

设切线PA的方程为：，

由得，

从而，

解得，

因此PA的方程为：，

同理PB的方程为：，

又在PA、PB上，所以，

即点都在直线上，

又也在直线上，

所以三点A、M、B共线。

（2）垂线AN的方程为：，

由得垂足，

设重心G（x，y），

所以，解得，

由，可得，

即为重心G所在曲线方程。

解：（Ⅰ），；

（Ⅱ）直线l1：kx-y=0（k＞0），直线l2：kx+y=0，

由题意得，即，

由P（x，y）∈W，知，

所以，

所以动点P的轨迹C的方程为。

（Ⅲ）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x=a（a≠0），

由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，

于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），

所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为，即它们的重心重合；

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0），

由得，

由直线l与曲线C有两个不同交点，可知，

且，

设的坐标分别为，

则，

设的坐标分别为，

由得，

从而，

所以，

所以，

于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合。

(Ⅰ)解：由题意得，解得a=1，，

所以b2=c2-a2=2，

所以双曲线C的方程为。

(Ⅱ)证明：点P(x0，y0) (x0y0≠0)在圆x2+y2=2上，

圆在点P(x0，y0)处的切线l的方程为，

化简得x0x+y0y=2，

由及得，

因为切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且，

所以，且，

设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，

则，

因为，

且

,

所以∠AOB的大小为90°．

解：（1）由题意可知，平面区域D如图阴影所示，　

设动点为P（x，y），则，即，

由P∈D知x+y>0，x-y＜0，即x2-y2＜0，

所以y2-x2=4（y＞0），　　

即曲线C的方程为=1（y＞0）；

（2）设，　　

则以线段AB为直径的圆的圆心为，

因为直线AB过点F（2，0），　　

所以设直线AB的方程为y=k（x-2），

代入双曲线方程=1（y＞0）得，k2（x-2）2-x2=4，　　

即（k2-1）x2-4k2x+（8k2-4）=0，

因为直线与双曲线交于A，B两点，所以k≠±1，

所以　　

所以|AB|= 　　

=

=f（k）；

（3），　　

所以|AB|=|x1+x2|=||，　　

化简得：k4+2k2-1=0，　　

解得k2=-1（k2=--1不合题意，舍去），

由，　　

又由于y＞0，所以-1＜k＜，

所以k=-。

解：（1）在△PAB中，|AB|=2，即，

，

即（常数），

点P的轨迹C是以A，B为焦点，实轴长的双曲线，

方程为：．

（2）设，

①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，

M（1，1），N（1，-1）在双曲线上，

即，

因为0＜λ＜1，所以；

②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x-1），

由得：，

由题意知：，

所以，

于是：，

因为，且M，N在双曲线右支上，

所以，

由①②知，。

解：由条件知，设，

（1）当AB与x轴垂直时，可设点A，B的坐标分别为，，

此时

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是

代入，有

则是上述方程的两个实根，

所以，，

于是

综上所述，为常数-1。

（2）设，则，，，，

由得：

即

于是的中点坐标为

当AB不与x轴垂直时，，即

又因为A，B两点在双曲线上，

所以，，两式相减得，

，

即

将代入上式，化简得

当AB与x轴垂直时，，求得，也满足上述方程

所以点M的轨迹方程是。

解：（Ⅰ）依题意知C的两条渐近线相互垂直，且F2点到任一条渐近线的距离为2，

，

故双曲线C的方程为。  

（Ⅱ）这样的直线不存在，证明如下：

当直线l的斜率不存在时，结论不成立；

当直线l斜率存在时，设其方程为，

并设、，

由知，

，

则， 

故

这不可能；

综上可知，不存在这样的直线。                

解：（Ⅰ）依题意可知，

∴，

∴点P的轨迹W是以M、N为焦点的双曲线的右支，

设其方程为，

则a=1，c=2，∴，

∴轨迹W的方程为。

（Ⅱ）当的斜率不存在时，显然不满足，故的斜率存在，

设的方程为，

由得，

又设，

则，

由①②③，解得：，

∵，

∴，

∴，

代入①②，得，，

消去x1，得，即，

故所求直线的方程为。

 （Ⅲ）问题等价于判断以AB为直径的圆是否与直线x=有公共点，若直线的斜率不存在，则以AB为直径的圆为，可知其与直线x=相交；

若直线的斜率存在，则设直线的方程为，，

由（Ⅱ）知且，

又N（2，0）为双曲线的右焦点，双曲线的离心率e=2，

则，

设以AB为直径的圆的圆心为S，点S到直径x=的距离为d，则

，

∴，

∵，

∴，即，即直线与圆S相交，

综上所述，以线段AB为直径的圆与直线相交；

故对于的任意一确定的位置，在直线上存在一点Q（实际上存在两点）使得。