热门试卷

解：（Ⅰ）根据题意设双曲线S的方程为，

且，解方程组得，

∴所求双曲线的方程为。 

（Ⅱ）当k=0时，双曲线S上显然不存在两个点关于直线l：y=kx+4对称；

当k≠0时，设又曲线S上的两点M、N关于直线l对称，

由l⊥MN，直线MN的方程为，

则M、N两点的坐标满足方程组，

消去y得，

显然，

∴，

即，

设线段MN中点为，

则，

∵在直线l：y=kx+4上，

∴，即，

∴，∴，解得m＞0或m＜-1，

∴或，

∴或，即或，且k≠0，

∴k的取值范围是。

解：（1）由，所以，，　　

焦点F（c，0）到渐近线bx-ay=0的距离，　　

所以，　　

所以，

所以a2=1， 　　

所以双曲线方程为；　　

（2）设，　　

将y=kx+1代入x2-y2=1得，　　

所以，

解得。

解：（1）以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D（0，2），P（），依题意得

|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=

＜|AB|=4

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线

设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，

则c=2，2a=2，

∴a2=2，b2=c2-a2=2

∴曲线C的方程为。

（2）依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理得

（1-k2）x2-4kx-6=0 ①

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴

∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）②

设E（x1，y1），F（x2，y2），

则由①式得x1+x2=，

于是|EF|=

=

而原点O到直线l的距离d=，

∴S△DEF=

若△OEF面积不小于2，即S△OEF≥，则有

解得 ③

综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）。

解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为，

由题意得或

∴

可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为

则

所以轨迹L的方程为；

（2）∵

仅当时，取“=”

由知直线

联立并整理得

解得或（舍去）

此时

所以最大值等于2，此时。

解：（1）设双曲线C的方程为

（a>0，b>0）

由已知得：a=，c=2，

再由a2+b2=c2，

∴b2=1

∴双曲线C的方程为。

（2）设A（xA，yA）、B（xB，yB）

将y=kx+代入

得（1-3k2）x2-6kx-9=0

由题意知

解得

∴当时，l与双曲线左支有两个交点。

（3）由（2）得：xA+xB=

∴yA+yB=（kxA+）+（kxB+）=k（xA+xB）+2=

∴AB的中点P的坐标为

设直线l0的方程为：

将P点坐标代入直线l0的方程，得

∵

∴-2<1-3k2<0

∴m<-

∴m的取值范围为。

解：（Ⅰ）设P（x，y），则

化简得；

（Ⅱ）①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x-2）（k≠0），与双曲线方程联立消去y得（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0

由题意知，3-k2≠0且△>0

设B（x1，y1），C（x2，y2）

则

因为

所以直线AB的方程为

因此M点的坐标为

同理可得

因此

②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x=2

则B（2，3），C（2，-3），AB的方程为y=x+l

因此M点的坐标为，

同理可得

因此

综上

即

故以线段MN为直径的圆过点F。

解：（1）由题意，得，

解得：=，b=1，

∴所求双曲线方程为。

（2）

联立，

得，

，

化简，得，

∴，

∵以AB为直径的圆过双曲线的右顶点M（，0），

∴，

即，

又，

即，

整理，得，

，

当时，L的方程为，直线过定点（，0)，与已知矛盾；

当时，L的方程为，直线过定点（2，0）； 

∴直线L过定点，定点坐标为（2，0）。

解：设直线l：，

令x=0，得P(0，)，

设，Q(x，y)，则有，

又在双曲线上，

∴，

∵a2+b2=c2，

∴， 解得：=3，

又由ab=，可得，

∴所求双曲线方程为。

解：(1)设双曲线C的方程为(a>0.b>0).

由题设得解得

所以双曲线C的方程为

(2)设直线l的方程为y=kx+m(k≠0)．

点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标满足方程组

将①式代入②式，得

整理得(5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0.

此方程有两个不等实根，

于是5-4k2≠0，且Δ=(-8km)2 +4(5-4k2)(4m2+20)>0.

整理得m2+5-4k2 >0.    ③

由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x0，y0)满足

从而线段MN的垂直平分线的方程为

此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为

由题设可得

整理得．

k≠0．将上式代入③式得

整理得(4k2-5) (4k2-|k|-5)>0,k≠0,

解得或

所以k的取值范围是