热门试卷

解：（Ⅰ）∵四边形OFPM是，

∴，

作双曲线的右准线交PM于H，则，

又，

。

（Ⅱ）当λ=1时，e=2，c=2a，，

双曲线为，

设P，则，

，

所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，

代入到双曲线方程得：，

又|AB|=12，由得：

，解得a=1，则，

所以为所求。

解：(1)四边形F2ABO是平行四边形，

∴，即0，

∴，∴平行四边形F2ABO是菱形，

如图，则r2=d1=c，r1=2a+r2=2a+c，

由双曲线定义得，

∴e=2(e=-1舍去)；

(2)由，

双曲线方程为1，把点代入得，

∴双曲线的方程为。

(3)D1(0，-3)，D2(0，3)，设l的方程为y=kx-3，，

则由，

因为l与双曲线有两个交点，∴，

∴，

∴，

，

，

∴，满足△＞0，

∴，

故所求直线l的方程为或。

解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，

且，易知b=1，

故曲线E的方程为，

设，由题意建立方程组，

消去y，得，

又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，

有，解得，

（Ⅱ）∵

，

依题意得，

整理后得，

∴，

但，

∴，

故直线AB的方程为，

设，由已知，得，

∴，

又，

∴点，

将点C的坐标代入曲线E的方程，得，得m=±4，

但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意；

∴m=4，点C的坐标为，

C到AB的距离为，

∴△ABC的面积。

解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，

则，

再由，得，

故C2的方程为；

（Ⅱ）将代入得，

由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得，即，  ①

将代入得，

由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B，

得，

即，

设，

则，

由，

而  

，

于是，

解此不等式得，      ③

由①、②、③得，

故k的取值范围为。

解：（Ⅰ）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解，

消去y并整理得（1-a2）x2+2a2x-2a2=0， ①

所以，解得，

双曲线的离心率，

∵，

∴，

即离心率e的取值范围是。

（Ⅱ）设，

，

∴，由此得，

由于x1，x2都是方程①的根，且1-a2≠0，

所以，

消去x2，得，

由a＞0，所以。

解：（1）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组

有两个不同的实数解

消去y并整理得（1-a2）x2+2a2x-2a2=0  ①

所以

解得且

双曲线的离心率

∵且

∴且

即离心率e的取值范围为。

（2）设，

∵

∴

因此得

由于x1+x2都是方程①的根，且1-a2≠0

所以

消去x2得

由

所以。

 解：（1）依题意可得，

双曲线的焦距为，，

双曲线的方程为

（2）证明：设点、（，），直线的斜率为（）， 则直线的方程为

联立方程组 整理，得

解得或

同理方程组可得：

为一定值

（3）设点、（，）， 则，． ，，即

点在双曲线上，则，

所以，即

又点是双曲线在第一象限内的一点，所以，

由（2）知，，即，设，则，

，在上单调递减，在上单调递增

当，即时，

当，即时，

的取值范围为  

解：(1)由条件有    

∴

∴

.故双曲线的方程为:.  

(2)设.

∵   

 ∴

又  

∴

即.

又由余弦定理有:.

即    

∴.  

故.  

(3)由则由条件有:是     ①

设中点,则

又在为圆心的圆上.

∴.  

化简得:      ②

将②代入①得:

解得.

又由    

∴

综上:或.

解：（Ⅰ）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，

整理得，……①

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，

故，解得k的取值范围是；

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为，

则由①式得，……②

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0），

则由FA⊥FB得：，即，

整理得，……③

把②式及代入③式化简得，

解得（舍去），

可知使得以AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。