双曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线(a＞0，b＞0)的离心率，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离是．

（Ⅰ）求双曲线的方程及渐近线方程；

（Ⅱ）若直线y＝kx＋5 (k≠0)与双曲线交于不同的两点C、D，且两点都在以A为圆心的同一个圆上，求k的值．

正确答案

（Ⅰ）,；（Ⅱ）＝

试题分析：本题主要考察双曲线的标准方程、韦达定理等基础知识，考察学生运算能力、综合分析和解决问题的能力.（Ⅰ）离心率为，∴，∴①，直线的方程为即，利用点到直线的距离公式得到：②，两式联立，可求出，∴双曲线方程为，渐近线方程为：；（Ⅱ）两点在以为圆心的同一个圆上，的中垂线过点,将直线与双曲线联立，消去，可得，设，中点为，则∴，解得＝，并检验是否满足(.

试题解析：（Ⅰ）直线的方程为：即

又原点到直线的距离

由得 3分

所求双曲线方程为 4分

（注：也可由面积法求得）

渐近线方程为： 5分

（Ⅱ）方法1：由（1）可知（0，－1），设,由

得： 7分

∴3＋3＋＝3＋3＋，

整理得：＝0，

∵，∴，∴，

又由－10＋25－3＝0 （），

∴y＋y2＝， 10分

＝7， 11分

由△＝100－4（1－3）（25－3）>0 =7满足此条件，

满足题设的＝. 12分

方法2：设，中点为，

由， 7分

∵，的中垂线过点 9分

∵∴ 11分

整理得解得＝.（满足 12分

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题型：填空题

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填空题

若实数、满足条件，则的取值范围是___________________.

正确答案

令

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题型：填空题

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填空题

设分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为

正确答案

试题分析：设中点为M，因为所以为到直线的距离，即由得：，因此，双曲线的渐近线方程为，即.

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题型：填空题

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填空题

以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线；②过定圆上一定点作圆的动点弦，为坐标原点，若则动点的轨迹为圆；③，则双曲线与的离心率相同；④已知两定点和一动点，若，则点的轨迹关于原点对称.

其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）.

正确答案

②③④

试题分析：对于①，由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线的一支，所以①不正确；对于②，由，可知点为弦的中点，连结，则有即，而均为定点，所以点的轨迹是以为直径的圆，所以②正确；对于③，设的离心率分别为，则有，，所以③正确；对于④，设动点，则由可得，将代入等式左边可得，所以动点的轨迹关于原点对称，即④正确；综上可知，真命题的序号是②③④.

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题型：填空题

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填空题

若双曲线x2 / 4－y2 / b2="1" (b＞0) 的渐近线方程为y=±1/2 x ，则b等于 .

正确答案

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略

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题型：填空题

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填空题

已知点A(－，0)，点B(，0)，且动点P满足|PA|－|PB|＝2，则动点P的轨迹与直线y＝k(x－2)有两个交点的充要条件为k∈________.

正确答案

(－∞，－1)∪(1，＋∞)

由已知得动点P的轨迹为一双曲线的右支且2a＝2，c＝，则b＝＝1，所以P点的轨迹方程为x2－y2＝1(x>0)，其一条渐近线方程为y＝x.若P点的轨迹与直线y＝k(x－2)有两个交点，

则需k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

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题型：简答题

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简答题

已知命题：方程表示焦点在轴上的双曲线。命题曲线与轴交于不同的两点，若为假命题，为真命题，求实数的取值范围。

正确答案

或.

试题分析：分别求出命题p、q为真命题时m的范围，根据复合命题真值表可得命题p，q命题一真一假，分p真q假和p假q真求出m的范围，再求并集．

试题解析：若真得： 2分;

若真得：或 4分;

∵为假命题，也为真命题

∴命题一真一假 6分;

若真假：； 8分；

若假真： 10分

∴实数的取值范围为：或 12分

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为_________．

正确答案

试题分析：由双曲线的方程为，可得它的渐近线方程为，由圆的方程可得，所以它是以为圆心，以为半径，又因为圆与渐近线相切，由点到直线距离公式可得，又因为，，代入上式可得，双曲线的离心率为．

另解：如下图可知：双曲线的渐近线的倾斜角为，即斜率为，，，，双曲线的离心率为．

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题型：填空题

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填空题

已知、分别为双曲线: 的左、右焦点，点，点的坐标为(2，0)，为的平分线．则 .

正确答案

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为的平分线，∴ ∴

又点，由双曲线的第一定义得.

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．

(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；

(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．

正确答案

（1）＝1（2）

(1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b，

∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，∴双曲线方程为＝1.

(2)设点A的坐标为(x0，y0)，

∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1，∴x0＝y0.①

依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，

将①代入圆的方程得3 ＋＝c2，即y0＝c，∴x0＝c，

∴点A的坐标为，代入双曲线方程得

＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2，②

又∵a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，

∴3 4－8 2＋4＝0，

∴(3e2－2)(e2－2)＝0，∵e＞1，∴e＝，

∴双曲线的离心率为.

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