双曲线
共4042题

双曲线
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题型：填空题

填空题

若双曲线上横坐为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则该双曲线两条渐近线所夹的锐角的取值范围是____________．

正确答案

略

题型：填空题

填空题

双曲线的离心率为。

正确答案

略

题型：填空题

填空题

已知点F是双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．

正确答案

(1,2)

由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF<即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即<a＋c，即b2<a2＋ac，即c2－ac－2a2<0，即e2－e－2<0，即－1<e<2.又e>1，故1<e<2.

题型：简答题

简答题

双曲线的离心率,是左，右焦点，过作轴的垂线与双曲线在第一象限交于P点，直线F1P与右准线交于Q点，已知

（1）求双曲线的方程；

（2）设过的直线MN分别与左支，右支交于M、N ，线段MN的垂线平分线与轴交于点，若＜3,求的取值范围。

正确答案

（1）

（2）

解：（1），，，P

，设Q ∵三点共线

得

（2）设MN：代入得：

设M，N

∵且∴

得

题型：填空题

填空题

已知双曲线的焦距为，离心率为，若点与到直线的距离之和，则的取值范围是_______．

正确答案

根据已知条件得，则

得，所以，即

解之得．

题型：简答题

简答题

已知双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),离心率e=,顶点到渐近线的距离为.

(1)求双曲线C的方程;

(2)如图,P是双曲线C上一点,A、B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限.若=λ,λ∈.求△AOB的面积的取值范围.

正确答案

(1) -x2=1 (2)

解:(1)由题意知,双曲线C的顶点(0,a)到渐近线ax-by=0的距离为,

∴=,即=.

由得

∴双曲线C的方程为-x2=1.

(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x,

设A(m,2m),B(-n,2n),m>0,n>0.

由=λ得P点坐标为,

将P点坐标代入-x2=1,化简得mn=.

设∠AOB=2θ,∵tan(-θ)2.

∴tanθ=,sin2θ=.

又|OA|=m,|OB|=n,

∴S△AOB=|OA|·|OB|·sin2θ

=2mn

=+1,

记S(λ)=+1,λ∈.

则S′(λ)=.

由S′(λ)=0得λ=1.

又S(1)=2,S=,S(2)=,

∴当λ=1时,△AOB的面积取得最小值2,当λ=时,

△AOB的面积取得最大值.

∴△AOB面积的取值范围是.

题型：填空题

填空题

设分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足，则该双曲线的渐近线方程为．

正确答案

试题分析：设中点为M，因为所以为到直线的距离，即由得：，因此，双曲线的渐近线方程为，即.

题型：填空题

填空题

设双曲线的渐近线方程为，则的值为_____________.

正确答案

试题分析：双曲线的渐近线为，因为与重合，所以．

题型：简答题

简答题

(本小题满分12分)

设双曲线的右顶点为是双曲线上异于顶点的一个动点，从引双曲线的两条渐近线的平行线与直线(为坐标原点)分别交于和两点.

(1) 证明：无论点在什么位置，总有;

(2) 设动点满足条件: , 求点的轨迹方程.

正确答案

（1）证明略

（2）

(1) 设与联立, 解得, --- 2分

同理可得, 所以, --- 2分

设, 则由双曲线方程与方程联立解得,-- 2分

所以(点在双曲线上, ); --- 2分

(2) ∵ , ∴ 点为的中点，设,

则有, 消去, 可得所求轨迹方程为. --- 6分

题型：填空题

填空题

点在双曲线的右支上，若点到右焦点的距离等于，则 .

正确答案

略

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