双曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

平面直角坐标系中，为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，－2），点C满足其中、且．

（Ⅰ）求点C的轨迹方程；

（Ⅱ）设点C的轨迹与双曲线交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值．

正确答案

解：（Ⅰ）设

即点C的轨迹方程为：

（II）

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）求经过点P（―3，2）和Q（―6，―7）且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程。

正确答案

解：依题意，设双曲线方程为Ax2－By2=1（AB＞0）---------3分

∵双曲线过点P（―3，2）和Q（―6，―7）

∴ ------------7分

解得：A=－　　　B=－ ----------10分

故双曲线方程为 --------12分

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分13分）已知双曲线，0为坐标原点，离心率

点在双曲线上。

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线l与双曲线交于P、Q两点，且，

求：|OP|2+|OQ|2的最小值。

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分分）

已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为.

（Ⅰ）求的取值范围，并求的最小值；

（Ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，那么，是定值吗？并证明

正确答案

（Ⅰ）当时，取最小值

（Ⅱ）证明略

（Ⅰ）与圆相切, ………… ①

由 , 得 ,

,

,故的取值范围为.

由于，

当时，取最小值. 6分

（Ⅱ）由已知可得的坐标分别为，

，

由①，得，为定值. 12分

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题型：填空题

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填空题

如图，F1、F2分别是双曲线C：＝1(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P、Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若MF2＝F1F2，则C的离心率是________．

正确答案

设双曲线的焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)．

∵B(0，b)，∴F1B所在的直线为－＝1.①

双曲线渐近线为y＝±x，由得Q.

由得P，∴PQ的中点坐标为.

由a2＋b2＝c2得，PQ的中点坐标可化为.

直线F1B的斜率为k＝，∴PQ的垂直平分线为y－＝－.

令y＝0，得x＝＋c，∴M，∴F2M＝.

由MF2＝F1F2得＝＝2c，即3a2＝2c2，∴e2＝，∴e＝

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题型：填空题

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填空题

设F1、F2是双曲线-=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为P，若PF1=2PF2，则双曲线的两条渐近线方程为______．

正确答案

根据双曲线第一定义 PF1=2PF2 PF1-PF2=2a

∴PF2=a

∵点P在圆上，以F1F2为直径，故△PF1F2为直角三角形

∴F1F2 PF1 PF2 的比例关系为：2：1

∴PF2=2a F1F2=2a=2c

∴b=2a 所以渐近线方程为y=±2x

故答案为：y=±2x．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，|BC|=10，sinB-sinC=sinA，求顶点A的轨迹方程．

正确答案

以BC所在的直线为x轴，线段BC的中点为原点，建立直角坐标系，∵sinB-sinC=sinA，

由正弦定理得b-c=a，∵a=10，∴b-c=6，即|AC|-|AB|=6＜10=|BC|，

∴点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线一支，即a1=3，c1=5，∴b1=4，

∴顶点A的轨迹方程为 -=1(x＜-3)．

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）（文科）已知曲线的离心率，直线过、两点，原点到的距离是.

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）过点作直线交双曲线于两点，若，求直线的方程.

正确答案

（Ⅰ）（Ⅱ）或

试题分析：（Ⅰ）依题意，直线的方程为：，即.

由原点到的距离是，得

又，.

故所求双曲线方程为. ……6分

（Ⅱ）显然直线不与轴垂直，设方程为，

则点坐标（）、（）是方程组的解,

消去，得 ①

依题意知，由根与系数关系，知 ……10分

，解得，

当时，方程①有两个不等的实数根

故直线方程为或. ……14分

点评：解答这种习题时，通常用到设而不求的思想方法，另外，圆锥曲线的题目运算量一般都比较大，要注意数形结合简化运算，也要在实际的学习中多多练习.

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题型：填空题

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填空题

设双曲线的半焦距为,直线过点,

两点.已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为————

正确答案

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由

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题型：填空题

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填空题

如果F1，F2分别是双曲线-=1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=6，则△ABF2的周长是______．

正确答案

由题意知：a=4，b=3，故c=5．

由双曲线的定义知|AF2|-|AF1|=8①，|BF2|-|BF1|=8②，

①+②得：|AF2|+|BF2|-|AB|=16，所以|AF2|+|BF2|=22，

所以△ABF2的周长是|AF2|+|BF2|+|AB|=28

故答案为：28

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