双曲线的定义
共1236题

· 双曲线的定义

双曲线的定义
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题型：填空题

填空题

若不论为何值，直线与曲线总有公共点，则的取值范围是_____

正确答案

略

题型：简答题

简答题

已知中心在原点，左、右顶点A1、A2在x轴上，离心率为的双曲线C经过点P（6,6），动直线l经过△A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点。

（1）求双曲线C的标准方程

（2）当直线l的斜率为何值时，。

正确答案

（1）

（2）

本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。

（1）设双曲线C的方程为

又P（6,6）在双曲线C上，由①、②解得

所以双曲线C的方程为。

（2）由双曲线C的方程可得

所以△A1PA2的重点G（2,2）

设直线l的方程为代入C的方程，整理得

整理得

解得由③，可得

解得由④、⑤，得

题型：填空题

填空题

在△ABC中，AH为BC边上的高，＝，则过点C，以A，H为焦点的双曲线的离心率为．

正确答案

如图所示，由＝，得＝＝．由题可知AH⊥BC，以A，H为焦点的双曲线的离心率e＝．由于△AHC为直角三角形，且＝＝，可设AH＝4a，CH＝3a，则AC＝5a，所以离心率e＝＝＝2．

题型：简答题

简答题

（本小题满分13分）

已知双曲线的两条渐近线分别为.

（1）求双曲线的离心率；

（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.

正确答案

(1) ;(2)存在

试题分析：(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.

(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.

试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.

(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.

当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.

若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.

设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即.

由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.

因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.

题型：填空题

填空题

若圆过双曲线的右焦点，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为、，当四边形为菱形时，双曲线的离心率为 .

正确答案

试题分析：由圆过双曲线的右焦点，可得：，又由四边形为菱形，且，则可得：，又双曲线的渐近线方程为：，则有，即，故．

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