- 双曲线的定义
- 共1236题
已知双曲线的左,右焦点分别为
,点P在双曲线的右支上,且
,则此双曲线的离心率e的取值范围是________.
正确答案
(1,]
根据双曲线定义,设
,
则|,故3r=2a,即
,即
.
根据双曲线的几何性质,,即
,
即,即e≤
.又e>1,
故双曲线的离心率e的取值范围是(1,] .
故填(1,]
双曲线的中心在原点,右焦点为
,渐近线方程为
.
(1)求双曲线的方程;
(2)设直线:
与双曲线
交于
、
两点,问:当
为何值时,以
为直径的圆过原点;
正确答案
(1);(2)
试题分析:(1)根据双曲线的几何性质可得:c=,
,解方程组即可;(2)可以联立直线方程与双曲线方程,消去y得关于x的一元二次方程,利用韦达定理,结合以
为直径的圆过原点时
,建立方程,即可解除k.
试题解析:(1)易知 双曲线的方程是.
(2)① 由得
,
由,得
且
.
设、
,因为以
为直径的圆过原点,所以
,
所以 .又
,
,
所以 ,
所以 ,解得
.
设圆C与两圆,
中的一个内切,另一个外切.
(1)求C的圆心轨迹L的方程;
(2)设直线l是圆O:在P(x0,y0)(x0y0 ≠ 0)处的切线,且P在圆上,l与轨迹L相交不同的A,B两点,证明:
.
正确答案
(1).(2)利用数量积的坐标运算即可证明垂直关系
试题分析:(1)设两圆的圆心分别为F1、F2,圆C的半径为r
即得
1分
或,即得
2分
L是以F1、F2为焦点,实轴长为2的双曲线 3分
轨迹L的方程为
. 5分
(2)由题可得直线l的方程为 7分
9分
13分
点评:此类轨迹方程的求法利用了定义法,所谓定义法就是立足题中所给的条件,结合题意导出相应的关系式,之后再根据特殊曲线的定义得出曲线的方程
.在△ABC中,AH为BC边上的高,=
,则过点C,以A,H为焦点的双曲线的离心率为 .
正确答案
2
略
(本题满分12分)
已知椭圆G的中心在坐标原点,与双曲线有相同的焦点,且过点
.
(Ⅰ) 求椭圆G的方程;
(Ⅱ) 设、
是椭圆G的左焦点和右焦点,过
的直线
与椭圆G相交于A、B两点,请问
的内切圆M的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及直线
的方程,若不存在,请说明理由.
正确答案
解:(Ⅰ)双曲线的焦点坐标为
,所以椭圆的焦点坐标为
设椭圆的长轴长为,则
,即
,又
,所以
∴椭圆G的方程
(Ⅱ)如图,设内切圆M的半径为
,与直线
的切点为C,
则三角形的面积等于
的面积+
的面积+
的面积.
即.
当最大时,
也最大,
内切圆的面积也最大,
设、
(
),则
,
由,得
,
解得,
,
∴,令
,则
,且
,
有,令
,则
,
当时,
,
在
上单调递增,有
,
,
即当,
时,
有最大值
,得
,这时所求内切圆的面积为
,
∴存在直线,
的内切圆M的面积最大值为
.
略
扫码查看完整答案与解析