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题型:填空题
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填空题

已知双曲线的左,右焦点分别为,点P在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率e的取值范围是________.

正确答案

 (1,]

根据双曲线定义,设

|,故3r=2a,即,即 .

根据双曲线的几何性质,,即

,即e≤ .又e>1,

故双曲线的离心率e的取值范围是(1,] .

故填(1,]

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题型:简答题
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简答题

双曲线的中心在原点,右焦点为,渐近线方程为 .

(1)求双曲线的方程;

(2)设直线与双曲线交于两点,问:当为何值时,以 为直径的圆过原点;

正确答案

(1);(2)

试题分析:(1)根据双曲线的几何性质可得:c=,解方程组即可;(2)可以联立直线方程与双曲线方程,消去y得关于x的一元二次方程,利用韦达定理,结合以 为直径的圆过原点时,建立方程,即可解除k.

试题解析:(1)易知 双曲线的方程是.

(2)① 由

,得.

,因为以为直径的圆过原点,所以

所以 .又

所以

所以 ,解得.

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题型:简答题
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简答题

设圆C与两圆中的一个内切,另一个外切.

(1)求C的圆心轨迹L的方程;

(2)设直线l是圆O:在P(x0y0)(x0y0 ≠ 0)处的切线,且P在圆上,l与轨迹L相交不同的A,B两点,证明:.

正确答案

(1).(2)利用数量积的坐标运算即可证明垂直关系

试题分析:(1)设两圆的圆心分别为F1F2,圆C的半径为r

即得     1分

,即得  2分

L是以F1F2为焦点,实轴长为2的双曲线 3分

轨迹L的方程为.              5分

(2)由题可得直线l的方程为       7分

         9分

                     13分

点评:此类轨迹方程的求法利用了定义法,所谓定义法就是立足题中所给的条件,结合题意导出相应的关系式,之后再根据特殊曲线的定义得出曲线的方程

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题型:填空题
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填空题

.在△ABC中,AH为BC边上的高,,则过点C,以A,H为焦点的双曲线的离心率为       .

正确答案

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题型:简答题
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简答题

(本题满分12分)

已知椭圆G的中心在坐标原点,与双曲线有相同的焦点,且过点.

(Ⅰ) 求椭圆G的方程;

(Ⅱ) 设是椭圆G的左焦点和右焦点,过的直线与椭圆G相交于A、B两点,请问的内切圆M的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及直线的方程,若不存在,请说明理由.

正确答案

解:(Ⅰ)双曲线的焦点坐标为,所以椭圆的焦点坐标为

设椭圆的长轴长为,则,即,又,所以

∴椭圆G的方程

(Ⅱ)如图,设内切圆M的半径为,与直线的切点为C,

则三角形的面积等于的面积+的面积+的面积.

.

最大时,也最大,内切圆的面积也最大, 

(),则,

,得,

解得,,

,令,则,且,

,令,则,

时,,上单调递增,有,,

即当,时,有最大值,得,这时所求内切圆的面积为,

∴存在直线,的内切圆M的面积最大值为.

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