- 双曲线的定义
- 共1236题
已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于
,则该双曲线的方程为________.
正确答案
5x2-y2=1.
由于抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),即c=1,又e==
,可得a=
,结合条件有a2+b2=c2=1,可得b2=
,又焦点在x轴上,则所求的双曲线的方程为5x2-
y2=1.
已知点、
分别是双曲线
的左、右焦点,过
且垂直于
轴的直线与双曲线交于
、
两点,若
为锐角三角形,则该双曲线的离心率
的取值范围是____________.
正确答案
试题分析:根据题意,作图像如下:
由已知得,将它代入双曲线方程可得,
,所以
,因为
是锐角三角形,所以
,则
,在
中,
,所以
,即
,由
化简得,
,不等式两边都除以
得,
,又
,解得
.
设双曲线的左、右焦点分别为
,离心率为
,过
的直线与双曲线的右支交于
两点,若
是以
为直角顶点的等腰直角三角形,则
_______.
正确答案
试题分析:由题意得:,①+②+③得:
,由此可得:
,
.
,
.
因为,所以
,
即.
已知双曲线的渐近线方程是
,那么此双曲线的离心率为 .
正确答案
试题分析:由题知,,所以
.
(本小题满分13分)
已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切.过点P(-4,0)作斜率为的直线l,使得l和G交于A,B两点,和y轴交于点C,并且点P在线段AB上,又满足|PA|·|PB|=|PC|2.
(1)求双曲线G的渐近线的方程;
(2)求双曲线G的方程;
(3)椭圆S的中心在原点,它的短轴是G的实轴.如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分,求椭圆S的方程.
正确答案
解:(1)设双曲线G的渐近线的方程为y=kx,
则由渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切可得=,
所以k=±,即双曲线G的渐近线的方程为y=±x.(3分)
(2)由(1)可设双曲线G的方程为x2-4y2=m,
把直线l的方程y=(x+4)代入双曲线方程,
整理得3x2-8x-16-4m=0,
则xA+xB=,xAxB=-.(*)
∵|PA|·|PB|=|PC|2,P、A、B、C共线且P在线段AB上,
∴(xP-xA)(xB-xP)=(xP-xC)2,即(xB+4)(-4-xA)=16,
整理得4(xA+xB)+xAxB+32=0.
将(*)代入上式得m=28,
∴双曲线的方程为-=1.(8分)
(3)由题可设椭圆S的方程为+=1(a>2),
设垂直于l的平行弦的两端点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为P(x0,y0),
则+=1,+=1,
两式作差得+=0.
由于=-4,x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,
所以-=0,
所以,垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线-=0截在椭圆S内的部分.
又由已知,这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分,所以=,即a2=56,
故椭圆S的方程为+=1.(13分)
略
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