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题型:填空题
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填空题

已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为________.

正确答案

5x2y2=1.

由于抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),即c=1,又e,可得a,结合条件有a2b2c2=1,可得b2,又焦点在x轴上,则所求的双曲线的方程为5x2y2=1.

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题型:填空题
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填空题

已知点分别是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,若为锐角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是____________.

正确答案

试题分析:根据题意,作图像如下:

由已知得,将它代入双曲线方程可得,,所以,因为是锐角三角形,所以,则,在中,,所以,即,由化简得,,不等式两边都除以得,,又,解得.

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题型:填空题
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填空题

设双曲线的左、右焦点分别为,离心率为,过的直线与双曲线的右支交于两点,若是以为直角顶点的等腰直角三角形,则_______.

正确答案

试题分析:由题意得:,①+②+③得:,由此可得:

..

因为,所以,

.

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题型:填空题
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填空题

已知双曲线的渐近线方程是,那么此双曲线的离心率为        .

正确答案

试题分析:由题知,,所以.

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分13分)

已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆x2y2-10x+20=0相切.过点P(-4,0)作斜率为的直线l,使得lG交于AB两点,和y轴交于点C,并且点P在线段AB上,又满足|PA|·|PB|=|PC|2.

(1)求双曲线G的渐近线的方程;

(2)求双曲线G的方程;

(3)椭圆S的中心在原点,它的短轴是G的实轴.如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分,求椭圆S的方程.

正确答案

解:(1)设双曲线G的渐近线的方程为ykx

则由渐近线与圆x2y2-10x+20=0相切可得=,

所以k=±,即双曲线G的渐近线的方程为y=±x.(3分)

(2)由(1)可设双曲线G的方程为x2-4y2m

把直线l的方程y=(x+4)代入双曲线方程,

整理得3x2-8x-16-4m=0,

xAxBxAxB=-.(*)

∵|PA|·|PB|=|PC|2PABC共线且P在线段AB上,

∴(xPxA)(xBxP)=(xPxC)2,即(xB+4)(-4-xA)=16,

整理得4(xAxB)+xAxB+32=0.

将(*)代入上式得m=28,

∴双曲线的方程为-=1.(8分)

(3)由题可设椭圆S的方程为+=1(a>2),

设垂直于l的平行弦的两端点分别为M(x1y1),N(x2y2),MN的中点为P(x0y0),

则+=1,+=1,

两式作差得+=0.

由于=-4,x1x2=2x0y1y2=2y0

所以-=0,

所以,垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线-=0截在椭圆S内的部分.

又由已知,这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分,所以=,即a2=56,

故椭圆S的方程为+=1.(13分)

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