热门试卷

解：（Ⅰ）由双曲线E：，得：，，． …2分

又圆C过原点，所以圆C的方程为． …………………………3分

（Ⅱ）由题意，设，代入，得，……………4分

所以的斜率为，的方程为． ………………5分

所以到的距离为，

直线被圆C截得的弦长为．

故直线被圆C截得弦长为7． ……………………………………………………7分

（Ⅲ）设，，则由，得，

整理得．①……………………9分学

又在圆C上，所以．②

②代入①，得．   ………………………10分

又由为圆C 上任意一点可知，，解得．

所以在平面上存在一点P，其坐标为．       …………………………12分

略

（1）直线AB的方程为y=x+1（2）A、B、C、D四点共圆

（1）由题意知直线AB的斜率存在.

设直线AB：y=k（x-1）+2，代入x2-=1

得(2-k2)x2-2k(2-k)x-(2-k)2-2="0.                                   " (*)

令A（x1,y1）,B(x2,y2),则x1、x2是方程（*）的两根，

∴2-k2≠0且x1+x2=.

∵=（+），∴N是AB的中点，∴=1,

∴k（2-k）=-k2+2,k=1,

∴直线AB的方程为y=x+1.

（2）将k=1代入方程（*）得x2-2x-3=0,

解得x=-1或x=3,

∴不妨设A（-1，0），B（3，4）.

∵·=0，∴CD垂直平分AB，

∴CD所在直线方程为y=-(x-1)+2,

即y=3-x,代入双曲线方程整理得x2+6x-11=0,

令C（x3,y3）,D(x4,y4)及CD中点M（x0,y0）

则x3+x4=-6,x3·x4=-11,

∴x0==-3，y0=6，即M(-3,6).

|CD|=|x3-x4|==4；

|MC|=|MD|=|CD|=2，

|MA|=|MB|=2，

即A、B、C、D到M距离相等，∴A、B、C、D四点共圆.

设直线MN的斜率为k，则MN的方程为y=kx+2．

∴ 消去y，整理得（3k2-1）x2+12kx+9=0． ………………………8分

∵ MN与双曲线交于上支，

∴ Δ=（12k）2-4×9×（）=36k2+36>0， x1x2，，

∴ ．                                        ………………………9分

∴ x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=-7，整理得x1x2+k2x1x2+2k（x1+x2）+4=-7，

代入得：，

解得，满足条件．                                       ………10分

S△MBN==

=

==．            ……………………………………………12分

略