双曲线的定义
共1236题

· 双曲线的定义

双曲线的定义
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题型：简答题

简答题

已知动圆M与圆C1：（x+4）2+y2=2外切，与圆C2：（x-4）2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程.

正确答案

M的轨迹方程是=1（x≥）

设动圆M的半径为r，

则由已知|MC1|=r+，

|MC2|=r-，

∴|MC1|-|MC2|=2.

又C1（-4，0），C2（4，0），

∴|C1C2|=8，∴2＜|C1C2|.

根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1（-4，0）、C2（4，0）为焦点的双曲线的右支.

∵a=，c=4，

∴b2=c2-a2=14，

∴点M的轨迹方程是=1（x≥）.

题型：简答题

简答题

双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

正确答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）

解：（Ⅰ）设，，

由勾股定理可得：]

得：，，

由倍角公式，解得,则离心率．

（Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立

将，代入，化简有

将数值代入，有,解得

故所求的双曲线方程为．

题型：简答题

简答题

已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A(，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与A点关于直线y=x对称.

(1)求双曲线C的方程.

(2)设直线l过点A，斜率为k,当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时B点的坐标.

正确答案

(1) x2－y2=2， (2) B(2,)

(1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d==1,解得k=±1.

即渐近线为y=±x,又点A关于y=x对称点的坐标为(0，).

∴a==b,所求双曲线C的方程为x2－y2=2.

(2)设直线l: y=k(x－)(0＜k＜1,

依题意B点在平行的直线l′上，且l与l′间的距离为.

设直线l′:y=kx+m,应有,

化简得m2+2km=2 ②

把l′代入双曲线方程得(k2－1)x2+2mkx+m2－2=0,

由Δ=4m2k2－4(k2－1)(m2－2)=0

可得m2+2k2="2 " ③

②、③两式相减得k=m,代入③得m2=,解得m=,k=,

此时x=,y= 故B(2,).

题型：填空题

填空题

已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．

正确答案

－2

由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，

设P(x，y)(x≥1)，则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5．

∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，∴当x＝1时，·取得最小值－2．

题型：填空题

填空题

若双曲线＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成5∶3两段，则此双曲线的离心率为________．

正确答案

抛物线的焦点坐标为，由题意知，c＝2b，所以c2＝4b2＝4(c2－a2) ，即4a2＝3c2，所以2a＝c，所以e＝＝＝

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