双曲线的定义
共1236题

· 双曲线的定义

双曲线的定义
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题型：简答题

简答题

学习了圆锥曲线及其方程后，对于一个一般的二元二次方程：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0（A，C，D，E，F为常数），请你写出一个它分别表示

①直线； ②圆； ③椭圆； ④双曲线； ⑤抛物线的必要条件．

正确答案

①方程表示直线，其二次项系数必为0或可分解成两个一次因式的积的形式，故其必要条件：A=C=0，D，E不全为零；或A•C＜0，D，E，F全为零；

②方程表示圆，其二次项系数必须相等且不为0，故其必要条件：A=C，D2+E2-4AF＞0；

③方程表示椭圆其二次项系数必须同号，故必要条件：A•C＞0， A≠C， +-F＞0；

④方程表示双曲线其二次项系数必须异号，故必要条件：A•C＜0，+-F≠0；

⑤方程表示抛物线其二次项系数必须有一个为0，另一个不为0，故必要条件：A=0且CD≠0；或C=0且AE≠0．

题型：填空题

填空题

以下四个关于圆锥曲线的命题中：

①设A、B为两个定点，k为非零常数，||-||=k，则动点P的轨迹为双曲线；

②以定点A为焦点，定直线l为准线的椭圆（A不在l上）有无数多个；

③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④过原点O任做一直线，若与抛物线y2=3x，y2=7x分别交于A、B两点，则为定值．

其中真命题的序号为 ______（写出所有真命题的序号）

正确答案

①由双曲线的定义可得，||-||=k，动点P的轨迹为双曲线的一支．②不对．

②以定点A为焦点，定直线l为准线的椭圆（A不在l上），离心率的值有无数个，故椭圆有无数多个；②对．

③方程2x2-5x+2=0的两根为：2，，故可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③对

④设过原点O的直线方程为y=kx k≠0，A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）联立，消去x，可得y1=，x1=，同理可得y2=，x2=

∴==为定值．④对．

故答案为：②③④

题型：简答题

简答题

(2014·武汉模拟)已知点P是圆M：x2+(y+m)2=8(m>0,m≠)上一动点,点N(0,m)是圆M所在平面内一定点,线段NP的垂直平分线l与直线MP相交于点Q.

(1)当P在圆M上运动时,记动点Q的轨迹为曲线Г,判断曲线Г为何种曲线,并求出它的标准方程.

(2)过原点斜率为k的直线交曲线Г于A,B两点,其中A在第一象限,且它在x轴上的射影为点C,直线BC交曲线Г于另一点D,记直线AD的斜率为k′,是否存在m,使得对任意的k>0,都有|k·k′|=1?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.

正确答案

（1）双曲线 -=1

（2）存在，m=

(1)因为|QN|=|QP|,

所以||QM|-|QN||=|PM|=2.

①当2<2m时,动点Q的轨迹曲线Г为以点M,N为焦点,2a=2为实轴的双曲线,其标准方程为-=1.

②当2>2m时,动点Q无轨迹.

(2)如图所示,

设A(x1,y1),D(x0,y0),则B(-x1,-y1),C(x1,0).

则y1=kx1.

直线BC的方程为y=(x-x1),即y=(x-x1).

联立化为(m2k2-2k2-8)x2-2k2(m2-2)x1x+(m2-2)(k2-8)=0.

所以-x1+x0=,

所以k′==

=-.

若存在m,使得对任意的k>0,都有|k·k′|=1,

则=1,

整理得m2=6,解得m=±(负值舍去).

因此存在m,且当m=时,满足题意.

题型：简答题

简答题

如图，已知双曲线的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y＝kx＋m与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为．

(1)求k的取值范围，并求的最小值；

(2)记直线的斜率为，直线的斜率为，那么是定值吗？证明你的结论．

正确答案

(1) (－1，1) ；2．

(2) 定值－(3＋2)

(1)∵l与圆相切，∴1＝

∴m2＝1＋k2，①

由得，

∴

∴，∴，故k的取值范围为(－1，1)．

由于，

∴，

∵∴当时，取最小值为2．

(2)由已知可得，的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，

∴，，

∴＝=

＝

＝＝，

由①，得，

∴＝＝－(3＋2)为定值．

题型：简答题

简答题

已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为F(－2，0)．

(1)求双曲线方程；

(2)设Q是双曲线上一点，且过点F，Q的直线l与y轴交于点M，若= 2，求直线l的方程．

正确答案

(1)

(2)y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)

(1)由题意可设所求的双曲线方程为，

则有e＝＝2，c＝2，所以a＝1，则b＝，

所以所求的双曲线方程为．

(2)因为直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2，0)，

所以l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)，

令x＝0，得M(0，2k)，

因为= 2|M，Q，F共线于l，

所以= 2或= －2

当=2时，，，

所以Q的坐标(－，)

因为Q在双曲线上，

所以，所以k＝±，

所以直线l的方程为y＝±(x＋2)．

当= －2时，

同理求得Q(－4，－2k)，代入双曲线方程得，

16－＝1，所以k＝±，

所以直线l的方程为y＝±(x＋2)．

综上，所求的直线l的方程为y＝± (x＋2)或y＝±(x＋2)．

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