双曲线的定义
共1236题

· 双曲线的定义

双曲线的定义
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题型：简答题

简答题

（本小题满分13分）已知双曲线，0为坐标原点，离心率

点在双曲线上。

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线l与双曲线交于P、Q两点，且，

求：|OP|2+|OQ|2的最小值。

正确答案

略

题型：简答题

简答题

（本小题满分分）

已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为.

（Ⅰ）求的取值范围，并求的最小值；

（Ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，那么，是定值吗？并证明

正确答案

（Ⅰ）当时，取最小值

（Ⅱ）证明略

（Ⅰ）与圆相切, ………… ①

由 , 得 ,

,故的取值范围为.

由于，

当时，取最小值. 6分

（Ⅱ）由已知可得的坐标分别为，

，

由①，得，为定值. 12分

题型：填空题

填空题

如图，F1、F2分别是双曲线C：＝1(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P、Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若MF2＝F1F2，则C的离心率是________．

正确答案

设双曲线的焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)．

∵B(0，b)，∴F1B所在的直线为－＝1.①

双曲线渐近线为y＝±x，由得Q.

由得P，∴PQ的中点坐标为.

由a2＋b2＝c2得，PQ的中点坐标可化为.

直线F1B的斜率为k＝，∴PQ的垂直平分线为y－＝－.

令y＝0，得x＝＋c，∴M，∴F2M＝.

由MF2＝F1F2得＝＝2c，即3a2＝2c2，∴e2＝，∴e＝

题型：填空题

填空题

设双曲线的半焦距为,直线过点,

两点.已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为————

正确答案

由

题型：填空题

填空题

如果F1，F2分别是双曲线-=1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=6，则△ABF2的周长是______．

正确答案

由题意知：a=4，b=3，故c=5．

由双曲线的定义知|AF2|-|AF1|=8①，|BF2|-|BF1|=8②，

①+②得：|AF2|+|BF2|-|AB|=16，所以|AF2|+|BF2|=22，

所以△ABF2的周长是|AF2|+|BF2|+|AB|=28

故答案为：28

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