- 集合间的基本关系
- 共3339题
已知集合A={a1，a2，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（Ⅰ）若集合A={2，4，8，16}，则l（A）=______；
（Ⅱ）当n=108时，l（A）的最小值为______．
正确答案
6
213
解析
解：（Ⅰ）由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，
得l（Q）=6．
（Ⅱ）不妨设a1＜a2＜a3＜…＜an，可得
a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+an＜a2+an＜a3+an＜…＜an-1+an，
故ai+aj（1≤i＜j≤n）中至少有2n-3个不同的数，即l（A）≥2n-3．
事实上，设a1，a2，a3，…，an成等差数列，考虑ai+aj（1≤i＜j≤n），
根据等差数列的性质，当i+j≤n时，ai+aj=a1+ai+j-1；当i+j＞n时，ai+aj=ai+j-n+an；
因此每个和ai+aj（1≤i＜j≤n）等于a1+ak（2≤k≤n）中的一个，或者等于al+an（2≤l≤n-1）中的一个．
故对这样的集合A，l（A）=2n-3，所以l（A）的最小值为2n-3．
当n=108时，l（A）的最小值为213．
故答案为：（Ⅰ）6．（Ⅱ）213．
下列关系中正确的个数为（ ）
（1）0∈{0}；（2）Φ⊆{0}；（3）{0，1}⊆{（0，1）}；（4）{（a，b）}={（b，a）}；（5）{a，b}={b，a}．
正确答案
解析
解：（1）0∈{0}，正确；（2）Φ⊆{0}，正确；
（3）{0，1}表示集合中元素为0，1，{（0，1）}表示集合中元素为（0，1），故不正确；
（4）{（a，b）}表示集合中元素为（a，b），{（b，a）}表示集合中元素为（b．a），故不正确；
（5）{a，b}={b，a}表示集合中元素为a，b，满足无序性，正确．
故选：C．
已知集合A={x|-2≤x≤2}，B={x|a+1＜x＜2a-3}
①若A∪B=B，求实数a的取值范围．
②若A∩B=∅，求a的取值范围．
正确答案
解：①A∪B=B，则A⊆B，∴
②∵A∩B=∅，
∴B=∅，a+1≥2a-3，∴a≤4；
B≠∅，a＞4，2a-3≤-2或a＞4，a+1≥2，∴a＞4，
综上，a∈R．
解析
解：①A∪B=B，则A⊆B，∴
②∵A∩B=∅，
∴B=∅，a+1≥2a-3，∴a≤4；
B≠∅，a＞4，2a-3≤-2或a＞4，a+1≥2，∴a＞4，
综上，a∈R．
已知M={a，a+d，a+2d}，N={a，aq，aq2}，a≠0，M=N，求q的值．
正确答案
解：∵M=N，∴
∴解得q=1，或
q=1时，N={a，a，a}，不满足集合元素的互异性，∴q≠1；
∴
解析
解：∵M=N，∴
∴解得q=1，或
q=1时，N={a，a，a}，不满足集合元素的互异性，∴q≠1；
∴
已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}，其中a为常数，且a∈R．
①若A是空集，求a的范围；
②若A中只有一个元素，求a的值；
③若A中至多只有一个元素，求a的范围．
正确答案
解：①若A是空集，则方程ax2-3x+2=0无解
此时△=9-8a＜0，即a＞
②若A中只有一个元素，则方程ax2-3x+2=0有且只有一个实根
当a=0时方程为一元一次方程，满足条件
当a≠0，此时△=9-8a=0，解得：a=
∴a=0或a=
③若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素
由①②得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥
解析
解：①若A是空集，则方程ax2-3x+2=0无解
此时△=9-8a＜0，即a＞
②若A中只有一个元素，则方程ax2-3x+2=0有且只有一个实根
当a=0时方程为一元一次方程，满足条件
当a≠0，此时△=9-8a=0，解得：a=
∴a=0或a=
③若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素
由①②得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥
扫码查看完整答案与解析