- 集合间的基本关系
- 共3339题
（2015秋•湛江校级月考）已知集合
正确答案
解析
解：对于集合A：x=
当分母为4时，分子为2k，能取遍全体偶数，
而对于集合B：x=
当分母为4时，分子为k，能取遍全体整数，
显然，“全体偶数”是“全体整数”的子集，
即A是B的子集（也是真子集），
故答案为：A．
记集合A={x|f（x）=x，x∈R}，B={x|f（f（x））=x，x∈R}．
（Ⅰ）令函数f（x）=x2+bx+c
（1）若A≠∅，求证：B≠∅；
（2）若A=∅，判断B是否也为空集；
（Ⅱ）（1）证明A⊆B；
（2）若f（x）为增函数，研究集合A和B之间的关系，并证明你的结论．
正确答案
（Ⅰ）解：由f（x）=x2+bx+c得f（f（x））=f2（x）+bf（x）+c及c=f（x）-x2-bx
由f（f（x））=x得到f2（x）+bf（x）+c=x，即f2（x）+bf（x）+f（x）-x2-bx=x
整理得到f2（x）-x2+b（f（x）-x）+（f（x）-x）=0，即（f（x）-x）（f（x）+x+b+1）=0①
即f（x）-x=0或f（x）+x+b+1=0，
即x2+（b-1）x+c=0②或x2+（b+1）x+b+c+1=0③
方程②的判别式△=（b-1）2-4c
方程③的判别式
（1）若A≠ϕ，即f（x）-x=0有解，即x2+（b-1）x+c=0有解，即△≥0，则①有解，即B≠ϕ
（2）若A=ϕ，即△＜0，则△1＜0，②和③均无解，则①无解，即B=ϕ----------------（6分）
（Ⅱ）（1）证明：若A=ϕ，则A⊆B
若A≠ϕ，任取x0∈A，则f（x0）=x0，则f（f（x0））=f（x0）=x0，
即x0∈B，即A⊆B--------------------------------------------（8分）
（2）解：任取x0∈B，则f（f（x0））=x0，
若x0＞f（x0），因为函数f（x）为增函数，则f（x0）＞f（f（x0））=x0，产生矛盾；
若x0＜f（x0），因为函数f（x）为增函数，则f（x0）＜f（f（x0））=x0，产生矛盾，
则x0=f（x0），即x0∈A，则B⊆A
再由（1）得A=B-------------------------------------（12分）
解析
（Ⅰ）解：由f（x）=x2+bx+c得f（f（x））=f2（x）+bf（x）+c及c=f（x）-x2-bx
由f（f（x））=x得到f2（x）+bf（x）+c=x，即f2（x）+bf（x）+f（x）-x2-bx=x
整理得到f2（x）-x2+b（f（x）-x）+（f（x）-x）=0，即（f（x）-x）（f（x）+x+b+1）=0①
即f（x）-x=0或f（x）+x+b+1=0，
即x2+（b-1）x+c=0②或x2+（b+1）x+b+c+1=0③
方程②的判别式△=（b-1）2-4c
方程③的判别式
（1）若A≠ϕ，即f（x）-x=0有解，即x2+（b-1）x+c=0有解，即△≥0，则①有解，即B≠ϕ
（2）若A=ϕ，即△＜0，则△1＜0，②和③均无解，则①无解，即B=ϕ----------------（6分）
（Ⅱ）（1）证明：若A=ϕ，则A⊆B
若A≠ϕ，任取x0∈A，则f（x0）=x0，则f（f（x0））=f（x0）=x0，
即x0∈B，即A⊆B--------------------------------------------（8分）
（2）解：任取x0∈B，则f（f（x0））=x0，
若x0＞f（x0），因为函数f（x）为增函数，则f（x0）＞f（f（x0））=x0，产生矛盾；
若x0＜f（x0），因为函数f（x）为增函数，则f（x0）＜f（f（x0））=x0，产生矛盾，
则x0=f（x0），即x0∈A，则B⊆A
再由（1）得A=B-------------------------------------（12分）
已知集合A={x|2＜x≤6}，B={x|3＜x＜9}．
（1）分别求∁R（A∩B），（∁RB）∪A；
（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）∵A∩B={x|3＜x≤6}，
∴CR（A∩B）={x|x≤3或x＞6}，
CRB={x|x≤3或x≥9}，
（CRB）∪A={x|x≤6或x≥9}；
（2）∵C⊆B，
∴
∴3≤a≤8，
∴实数a的取值为[3，8]．
解析
解：（1）∵A∩B={x|3＜x≤6}，
∴CR（A∩B）={x|x≤3或x＞6}，
CRB={x|x≤3或x≥9}，
（CRB）∪A={x|x≤6或x≥9}；
（2）∵C⊆B，
∴
∴3≤a≤8，
∴实数a的取值为[3，8]．
已知集合P={x|x=m2+1，m∈N*}，Q={x|x=n2-4n+5，n∈N*}，则（ ）
正确答案
解析
解：法一∵P={x|x=m2+1，m∈N*}={2，5，10，17，…}，Q={x|x=n2-4n+5，n∈N*}
={x|x=（n-2）2+1}={1，2，5，10，17，…}，∴P⊊Q
法二∵P={x|x=m2+1，m∈N*}，Q={x|x=n2-4n+5，n∈N*}={x|x=（n-2）2+1}
对∀x∈P，则x=m2+1，m∈N+，∴x∈Q，但对于Q中元素，n=1时，x=02+1=1，1∈Q，而1∉P
∴P⊊Q
故答案选B
（1）求如图阴影部分表示的集合；
（2）已知C={x|2a＜x＜a+1}，若B∪C=B，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）阴影部分对应的集合为（∁UB）∩A，
∵A={x|y=
∴∁UB={x|x≥14或x≤-2}．
∴（∁UB）∩A={x|x≥14或x≤-3}．
（2）∵B∪C=B，
∴C⊆B，
若a+1≤2a，即a≥1时，C=∅，此时满足条件．
若a＜1时，若C⊆B，
则
解得-1≤a＜1，
综上a≥-1．
解析
解：（1）阴影部分对应的集合为（∁UB）∩A，
∵A={x|y=
∴∁UB={x|x≥14或x≤-2}．
∴（∁UB）∩A={x|x≥14或x≤-3}．
（2）∵B∪C=B，
∴C⊆B，
若a+1≤2a，即a≥1时，C=∅，此时满足条件．
若a＜1时，若C⊆B，
则
解得-1≤a＜1，
综上a≥-1．
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