热门试卷

（Ⅰ）解：h（x）=4f（x）-g（x）=4xlnx+2lnx-x2-4x+5，

h（x）的定义域为（0，+∞），则，

记h″（x）为h′（x）的导函数，则，

故h′（x）在其定义域（0，+∞）上单调递减，且有h‘（1）=0，

则令h'（x）＜0可得x＞1，令h'（x）＞0得0＜x＜1，

故h（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；

（Ⅱ）令φ（x）=af（x）-g（x），则有x≥1时φ（x）≤0．

φ（x）=axlnx+2lnx-ax-x2+a+1，，

记φ''（x）为φ'（x）的导函数，则，

因为当x≥1时，，故．

①若a-4≤0，即a≤4，此时φ''（x）≤0，故φ'（x）在区间[1，+∞）上单调递减，

当x≥1时有φ'（x）≤φ'（1）=0，故φ（x）在区间[1，+∞）上单调递减，

当x≥1时有φ（x）≤φ（1）=0，故a≤4时，原不等式恒成立；

②若a-4＞0，即a＞4，令可得，

故φ'（x）在区间上单调递增，故当时，φ'（x）＞φ'（1）=0，

故φ（x）在区间上单调递增，故当时，φ（x）＞φ（1）=0，

故a＞4时，原不等式不恒成立．

综上可知a≤4，即a的取值范围为（-∞，4]．

解：（1）由函数的图象经过点（0，2）可知，b=2，…（2分）

又f‘（x）=3x2+2ax-9，…（4分）

且f′（1）=0得a=3…（6分）

∴f（x）=x3+3x2-9x+2…（7分）

（2）f′（x）=3x2+6x-9=3（x2+2x-3）=3（x+3）（x-1）

令f′（x）＞0，则3（x+3）（x-1）＞0，解得x＜-3或x＞1…（9分）

令f′（x）＜0，则3（x+3）（x-1）＜0，解得-3＜x＜1…（11分）

∴函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，-3）和（1，+∞）

函数y=f（x）的单调递减区间为（-3，1）…（12分）

解：∵f（x）=x3-x2-8x+1，

∴f′（x）=x2-2x-8，令f′（x）=0，得x=-2或x=4．

当x∈（-6，-2）时，f′（x）＞0；

当x∈（-2，4）时，f′（x）＜0；

当x∈（4，6）时，f′（x）＞0．

∴f（x）的递增区间为[-6，-2），（4，6]，递减区间为[-2，4]．

当x=-2时，f（x）取得极大值f（-2）=；

当x=4时，f（x）取得极小值f（4）=-．

解：（1）因为f‘（x）=lnx+1，由f'（x）＞0，得，

所以f（x）的单调增区间为，

又当时，f'（x）＜0，则f（x）在上单调减，

当时，f'（x）＞0，则f（x）在上单调增，

所以f（x）的最小值为． 

（2）因为f'（x）=lnx+1，，

设公切点处的横坐标为x°，

则与f（x）相切的直线方程为：y=（lnx°+1）x-x°，

与g（x）相切的直线方程为：，

所以，

解之得，

由（1）知，所以． 

（3）若直线l1过（e2，2e2），则k=2，此时有lnx°+1=2（x°为切点处的横坐标），

所以x°=e，m=-e，

当k＞2时，有l2：y=（lnx°+1）x-x°，l1：y=（lnx°+1）x，且x°＞2，

所以两平行线间的距离，

令h（x）=xlnx-（lnx°+1）x+x°，因为h'（x）=lnx+1-lnx°-1=lnx-lnx°，

所以当x＜x°时，h'（x）＜0，则h（x）在（0，x°）上单调减；

当x＞x°时，h'（x）＞0，则h（x）在上单调增，

所以h（x）有最小值h（x°）=0，即函数f（x）的图象均在l2的上方，

令，

则，

所以当x＞x°时，t（x）＞t（x°），

所以当d最小时，x°=e，m=-e．