- 函数的单调性与导数的关系
- 共10564题
已知函数f（x）=x3+x2-3a2x-2a-25
（1）若函数f（x）在（-1，1）上单调递减，求实数a的取值范围；
（2）若a＞0，当0≤x≤3时f（x）≤x2+a恒成立，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）由题意得f′（x）=3x2+2x-3a2≤0对x∈[-1，1]恒成立，
∴
（2）由题意得x3-3a2x-3a-25≤0对x∈[0，3]恒成立，
令h（x）=x3-3a2x-3a-25，
则h′（x）=3（x+a）（x-a），
∴h（x）在[0，a]递减，在[a，+∞）递增，
当a≥3时，h（0）=-3a-25≤0，满足题意，
当0＜a＜3时，
解得：
综上：a≥
解析
解：（1）由题意得f′（x）=3x2+2x-3a2≤0对x∈[-1，1]恒成立，
∴
（2）由题意得x3-3a2x-3a-25≤0对x∈[0，3]恒成立，
令h（x）=x3-3a2x-3a-25，
则h′（x）=3（x+a）（x-a），
∴h（x）在[0，a]递减，在[a，+∞）递增，
当a≥3时，h（0）=-3a-25≤0，满足题意，
当0＜a＜3时，
解得：
综上：a≥
已知函数f（x）=alnx-x+
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）设h（x）=
（Ⅲ）求证：1+
正确答案
解：（Ⅰ）∵
∴f（x）恒过（1，0），
∴p（1，0），g（1）=0，
∴b=2；
∵
∴a=2，即a=2，b=2．
（Ⅱ）证：
即证x＞0且x≠1时，f（x），g（x）异号
∵g（x）=x2+x-2=（x-1）（x+2）
∴当x＞1时，g（x）＞0
∵
∴f（x）在（1，+∞）单调递减，又f（1）=0
∴f（x）＜f（1）=0，
∴
∵当0＜x＜1时，g（x）＜0
∴
∴f（x）＞f（1）=0，
∴
综上得证．
（Ⅲ）∵
∴
∴
…
∴
∴
解析
解：（Ⅰ）∵
∴f（x）恒过（1，0），
∴p（1，0），g（1）=0，
∴b=2；
∵
∴a=2，即a=2，b=2．
（Ⅱ）证：
即证x＞0且x≠1时，f（x），g（x）异号
∵g（x）=x2+x-2=（x-1）（x+2）
∴当x＞1时，g（x）＞0
∵
∴f（x）在（1，+∞）单调递减，又f（1）=0
∴f（x）＜f（1）=0，
∴
∵当0＜x＜1时，g（x）＜0
∴
∴f（x）＞f（1）=0，
∴
综上得证．
（Ⅲ）∵
∴
∴
…
∴
∴
已知函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，则xf′（x）＜0的解集为（ ）
A（-∞，
B（-∞，0）∪（
C（-∞，
D（-∞，
正确答案
解析
解：∵由图象知函数f（x）在
在
∴xf′（x）＜0的解集为
故选：B．
（1）求b、c的值；
（2）求函数的极小值；
（3）求函数的递减区间．
正确答案
解：（1）函数的图象经过（0，0）点，
∴c=0．
又图象与x轴相切于（0，0）点，
y‘=3x2-6x+b，
∴0=3×02-6×0+b，
解得b=0．
（2）y=x3-3x2，
y'=3x2-6x，
当x＜2时，y'＜0；当x＞2时，y'＞0．
则当x=2时，函数有极小值-4．
（3）y'=3x2-6x＜0，
解得0＜x＜2，
∴递减区间是（0，2）．
解析
解：（1）函数的图象经过（0，0）点，
∴c=0．
又图象与x轴相切于（0，0）点，
y‘=3x2-6x+b，
∴0=3×02-6×0+b，
解得b=0．
（2）y=x3-3x2，
y'=3x2-6x，
当x＜2时，y'＜0；当x＞2时，y'＞0．
则当x=2时，函数有极小值-4．
（3）y'=3x2-6x＜0，
解得0＜x＜2，
∴递减区间是（0，2）．
①f（x）在（-3，1）上是增函数；②x=-1是f（x）的极小值点；
③f（x）在（2，4）上是减函数，在（-1，2）上是增函数；④x=2是f（x）的极小值点．
正确答案
解析
解：由图象得：f（x）在（-3，-1）递减，在（-1，2）递增，在（2，4）递减，（4，+∞）递增，
∴x=-1是f（x）的极小值点，x=2是f（x）的极大值点，
故②③正确，
故选：B．
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