热门试卷

解：（1）若m=1，a=0，

则f（x）=x|x|-|x|+1，

①x≥0时，f（x）=x2-x+1，

对称轴x=，开口向上，

∴f（x）在[0，）递减，在（，+∞）递增；

②x＜0时，f（x）=-x2+x+1，

对称轴x=-，开口向下，

∴f（x）在（-∞，0）递增；

综上：f（x）在（-∞，0）递增，在[0，）递减，在（，+∞）递增．

（2）a=1时，f（x）=mx|x-1|-|x|+1，

①x＜0时，f（x）=mx（1-x）+x+1=-mx2+（m+1）x+1，

△=（m+1）2+4m=m2+6m+1，

令m2+6m+1=0，解得：m=-3±2，

当m＜-3-2或x＞-3+2时，△＞0，有2个零点，

当-3-2＜m＜-3+2时，△＜0，没有零点，

当m=-3±2时，△=0，有1个零点；

②0≤x≤1时，f（x）=mx（1-x）-x+1=-mx2+（m-1）x+1，

△=（m+1）2≥0，

m=-1时，函数有1个零点，m≠-1时，有2个零点；

③x＞1时，f（x）=mx（x-1）-x+1=mx2-（m+1）x+1，

△=（m-1）2≥0，

m=1时，函数有1个零点，m≠1时，函数有2个零点．

解：（Ⅰ）f′（x）=-m+=，

令h（x）=-mx2+x+m-1（x∈（0，+∞））

当m=0时，h（x）=x-1，令h（x）＞0，x＞1，h（x）＜0，0＜x＜1

∴f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数

当m≠0时，h（x）=-m（x-1）[x-（-1）]，

当m＜0时，-1＜0＜1，f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数

0＜m≤时，0＜1＜-1，f（x）在（0，1），（-1，+∞）上是减函数，f（x）在（1，-1）上是增函数；

（Ⅱ）当m=时，f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，2）上是增函数

∴对任意x1∈（0，2），f（x1）≥f（1）=，又已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），

所以g（x2）≤，x2∈[1，2]，

即存在x2∈[1，2]使g（x）=x2-2x+n≤ 即n-1≤，解得n≤．