热门试卷

（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，

若a≤0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，…（2分）

若a＞0，则由f′（x）=0，得x=，

当x∈（0，）时，f′（x）＞0，

当x∈（）时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）单调递减．

所以当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，

当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）单调递减．…（4分）

（Ⅱ）f（x）-=，

令g（x）=xlnx-a（x2-1），（x≥1），

g′（x）=lnx+1-2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1-2ax，

，…（6分）

①若a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）递增，

g′（x）≥g′（1）=1-2a＞0，

∴g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0，

从而f（x）-不符合题意．…（8分）

②若0＜a＜，当x∈（1，），F′（x）＞0，

∴g′（x）在（1，）递增，

从而g′（x）＞g′（1）=1-2a，

∴g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0，

从而f（x）-不符合题意．…（10分）

③若a，F′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，

∴g′（x）在[1，+∞）递减，g′（x）≤g′（1）=1-2a≤0，

从而g9x）在[1，+∞）递减，

∴g（x）≤g（1）=0，f（x）-≤0，

综上所述，a的取值范围是[）．…（12分）

解：（1）当a=1时，

g（x）=（x-1）-2f（x）=（x-1）-2lnx=x-1-2lnx，

定义域为（0，+∞）；

g′（x）=1-=；

当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；

当x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；

即g（x）的单调增区间为（2，+∞），单调减区间为（0，2）．

（2）证明：k==，又x0=，

所以f′（x0）==；

即证，＞，

不妨设0＜x1＜x2，即证：lnx2-lnx1＞；

即证：ln＞；

设t=＞1，即证：lnt＞=2-；

即证：lnt+-2＞0，其中t∈（1，+∞）；

事实上，设k（t）=lnt+-2，（t∈（1，+∞）），

则k′（t）=-=＞0；

所以k（t）在（1，+∞）上单调递增，

所以k（t）＞k（1）=0；

即结论成立．

（3）由题意得+1＜0，

即＜0；

设G（x）=F（x）+x，则G（x）在（0，2]单调递减，

①当x∈[1，2]时，G（x）=lnx++x，

G′（x）=-+1≤0；

b≥+（x+1）2=x2+3x++3在[1，2]上恒成立，

设G1（x）=x2+3x++3，则G1′（x）=2x+3-；

当x∈[1，2]，G1′（x）＞0；

∴G1（x）在[1，2]上单调递增，G1（x）≤；

故b≥．

②当x∈（0，1）时，G（x）=-lnx++x；

G1（x）=x2+3x++3，

G′（x）=--+1≤0，

b≥-+（x+1）2=x2+x--1在（0，1）恒成立，

设G2（x）=x2+x--1，（x）=2x+1+＞0，

即G2（x）在（0，1）单调递增，故G2（x）＜G2（1）=0，∴b≥0，

综上所述：b≥．