热门试卷

解：（1）f′（x）=-ln（x+1），

当f′（x）＞0时，解得：-1＜x＜0，

当f′（x）＜0时，解得：x＞0，

∴f（x）在（-1，0）递增，在（0，+∞）递减；

（2）由（1）得：

f（x）在[-，0]上递增，在[0，1]上递减，

又f（0）=0，f（1）=1-ln4，f（-）=-+ln2，

∴f（1）-f（-）＜0，

∴t∈[-+ln2，0）时，方程f（x）=t有两个解；

（3）存在m=0满足条件，

理由：y=f′（x）与y=ln（x+）交点为（，ln），

y=f′（x）与y轴交点为（0，0），

y=ln（x+）与y轴交点为（0，-ln6），

则S=（ey-）dy+（e-y-1）dy

=1+ln2-ln3，

∴存在m=0满足条件．

解：（1）a=0时，f（x）=ex-1-x，f′（x）=ex-1．

当x∈（-∞，0）时，f‘（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．

故f（x）在（-∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加

（II）f′（x）=ex-1-2ax

由（I）知ex≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，

从而当1-2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，

于是当x≥0时，f（x）≥0．

由ex＞1+x（x≠0）可得e-x＞1-x（x≠0）．

从而当时，f′（x）＜ex-1+2a（e-x-1）=e-x（ex-1）（ex-2a），

故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．

综合得a的取值范围为．

解：

（1）若a=1，，令f′（x）=0，得x=1或x=-2（负值舍去）

当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0

∴f（x）的极小值为f（1）=0，无极大值．

（2）∵f（x）在[1，+∞）内为单调增函数

∴在[1，+∞）上恒成立

即x2+ax-2a≥0在[1，+∞）上恒成立

令g（x）=x2+ax-2a

当即a≥-2时，g（1）≥0，得a≤1，∴-2≤a≤1

当即a＜-2时，，得-8≤a≤0，∴-8≤a＜-2

综上a的取值范围是[-8，1]

（3）当a=1时，由（2）知，f（x）在[1，+∞）内为单调增函数

即x＞1时，f（x）＞f（1）=0

即

取

∵

∴

∴…+

解：（1）∵f（x）=ex+ax-1

∴f′（x）=ex+a

当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）；

当a＜0时，令f′（x）=ex+a=0，则x=ln（-a）

当x∈（-∞，ln（-a））时，f′（x）＜0，当x∈（ln（-a），+∞）时，f′（x）＞0，

此时f（x）的单调递减区间为（-∞，ln（-a））；单调递增区间为（ln（-a），+∞）；

（2）当a＜0时，若方程f（x）=0只有一解，

即函数f（x）=ex+ax-1有且只有一个零点

由（1）得f[ln（-a）]=ex+ax-1=0，又∵f（0）=e0+0-1=0，

故ln（-a）=0，解得a=-1

（3）若对所有x≥0都有f（x）≥f（-x），即ex+ax-1≥e-x-ax-1

ex-e-x+2ax≥0在（0，+∞）上恒成立；

令g（x）=ex-e-x+2ax，

∵g（0）=0

∴g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立

即g‘（x）=ex+e-x+2a≥0在（0，+∞）上恒成立

∵ex+e-x+2a≥2+2a

∴a≥-1