- 弦切角的性质
- 共102题
（几何证明选讲）以Rt△ABC的直角边AB为直径的圆O交AC边于点E，点D在BC上，且DE与圆O相切．若∠A=56°，则∠BDE=______．
正确答案
68°
解析
解：连接OE，因为∠A=56°，所以∠BOE=112°，
又因为∠ABC=90°，DE与圆O相切，
所以O、B、C、E四点共圆，
所以∠BDE=180°-∠BOE=68°．
故答案为68°．
∠BAC所对的弧的度数为（ ）
正确答案
解析
解：∵PA为圆O的切线，
故∠CAP=∠B=40°，
又∵∠ACP=100°，
∴∠BAC=60°
则∠BAC所对的弧的度数为120°
故选C
（Ⅰ）证明：∠CEA=∠DCA；
（Ⅱ）证明：FG∥AC．
正确答案
证明：（Ⅰ）∵AB为切线，AE为割线，∴AB2=AE•AD，
又∵AB=AC，∴AC2=AE•AD，∴
又∠CAD=∠EAC，∴△ACD∽△AEC，∴∠CEA=∠DCA； 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）有
∵∠EAC=∠DAC，
∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵∠ADC=∠EGF，
∴∠EGF=∠ACE，
∴GF∥AC． 10分
解析
证明：（Ⅰ）∵AB为切线，AE为割线，∴AB2=AE•AD，
又∵AB=AC，∴AC2=AE•AD，∴
又∠CAD=∠EAC，∴△ACD∽△AEC，∴∠CEA=∠DCA； 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）有
∵∠EAC=∠DAC，
∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵∠ADC=∠EGF，
∴∠EGF=∠ACE，
∴GF∥AC． 10分
（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；
（Ⅱ）若tan∠CED=
正确答案
∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线．
（Ⅱ）∵ED是直径，∴∠ECD=90°，
在Rt△BCD中，∵tan∠CED=
∵AB是⊙O的切线，
∴∠BCD=∠E．
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△CBD∽△EBC，∴
设BD=x，BC=2x，
又BC2=BD•BE，∴（2x）2=x•（x+12）．
解得：x1=0，x2=4，
∵BD=x＞0，∴BD=4．
∴OA=OB=BD+OD=4+6=10．
解析
∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线．
（Ⅱ）∵ED是直径，∴∠ECD=90°，
在Rt△BCD中，∵tan∠CED=
∵AB是⊙O的切线，
∴∠BCD=∠E．
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△CBD∽△EBC，∴
设BD=x，BC=2x，
又BC2=BD•BE，∴（2x）2=x•（x+12）．
解得：x1=0，x2=4，
∵BD=x＞0，∴BD=4．
∴OA=OB=BD+OD=4+6=10．
如图，在△ABC中，∠A=60°，AB＞AC，点O是外心，两条高 BE，CF交于H点，点M，N分别在线段BH，FH上，且满足BM=CN，求
正确答案
解：如图在BE上取BK=CH，连接OB、OC、OK，
由三角形的外心的性质可知：∠BOC=2∠A=120°，
由三角形的垂心性质可知：∠BHC=180°-∠A=120°，
所以∠BOC=∠BHC，所以B、C、H、O四点共圆，∠OBH=∠OCH，…（3分）
又因为OB=OC，BK=CH，所以△BOK≌△COH，
因为∠BOK=∠COH，OK=OH，所以∠KOH=∠BOC=120°，∠OKH=∠OHK=30°，…（6分）
观察△OKH，有：
又因为BM=CN，BK=CH，所以KM=NH，所以MH+NH=MH+KM=KH=
故
解析
解：如图在BE上取BK=CH，连接OB、OC、OK，
由三角形的外心的性质可知：∠BOC=2∠A=120°，
由三角形的垂心性质可知：∠BHC=180°-∠A=120°，
所以∠BOC=∠BHC，所以B、C、H、O四点共圆，∠OBH=∠OCH，…（3分）
又因为OB=OC，BK=CH，所以△BOK≌△COH，
因为∠BOK=∠COH，OK=OH，所以∠KOH=∠BOC=120°，∠OKH=∠OHK=30°，…（6分）
观察△OKH，有：
又因为BM=CN，BK=CH，所以KM=NH，所以MH+NH=MH+KM=KH=
故
扫码查看完整答案与解析