- 弦切角的性质
- 共102题
如图，在△ABC中，∠B=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，点E为BC的中点，连接DE、AE，AE交⊙O于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为2，求AD•AC的值．
正确答案
∵AO=OB，CE=EB∴OE∥AC，OE=
∴∠CAB=∠EOB，∠ADO=∠DOE
∵OA=OD
∴∠CAB=∠ADO
则∠DOE=∠EOB
EDO=∠EBO=90°又∵OD=OB，OE是公共边．
∴△ODE≌△OBE
∴EDO=∠EBO=90°
∴DE是⊙O的切线 …（5分）
（2）连接BD，显然BD是Rt△ABC斜边上的高．
可得△ABD∽△ACB所以
所以AD•AC=4 …（10分）
解析
∵AO=OB，CE=EB∴OE∥AC，OE=
∴∠CAB=∠EOB，∠ADO=∠DOE
∵OA=OD
∴∠CAB=∠ADO
则∠DOE=∠EOB
EDO=∠EBO=90°又∵OD=OB，OE是公共边．
∴△ODE≌△OBE
∴EDO=∠EBO=90°
∴DE是⊙O的切线 …（5分）
（2）连接BD，显然BD是Rt△ABC斜边上的高．
可得△ABD∽△ACB所以
所以AD•AC=4 …（10分）
如图，锐角△ABC的内心为D，过点A作直线BD的垂线，垂足为F，点E为内切圆D与边AC的切点．
（Ⅰ）求证：A，D，F，E四点共圆；
（Ⅱ）若∠C=50°，求∠DEF的度数．
正确答案
（Ⅰ）证明：∵点E为内切圆D与边AC的切点，
∴DE⊥AE，
∵AF⊥DF，
∴A，D，F，E四点共圆，直径为AD；
（Ⅱ）∵锐角△ABC的内心为D，∴
∵∠C=50°，∴∠ADB=115°，
∵∠ADB=90°+∠DAF，
∴∠DAF=25°，
∵A，D，F，E四点共圆，
∴∠DEF=∠DAF=25°．
解析
（Ⅰ）证明：∵点E为内切圆D与边AC的切点，
∴DE⊥AE，
∵AF⊥DF，
∴A，D，F，E四点共圆，直径为AD；
（Ⅱ）∵锐角△ABC的内心为D，∴
∵∠C=50°，∴∠ADB=115°，
∵∠ADB=90°+∠DAF，
∴∠DAF=25°，
∵A，D，F，E四点共圆，
∴∠DEF=∠DAF=25°．
正确答案
40°
解析
解：∵AC=CD，∠D=40°，
∴∠CAD=40°，∠ACB=80°．
∴∠CBE=40°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=80°，
∴∠ABE=40°．
故答案为：40°
正确答案
解：∵AC=CD，∠D=35°，
∴∠CAD=35°，∠ACB=70°．
∴∠CBE=35°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=70°，
∴∠ABE=35°．
故答案为：35°．
解析
解：∵AC=CD，∠D=35°，
∴∠CAD=35°，∠ACB=70°．
∴∠CBE=35°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=70°，
∴∠ABE=35°．
故答案为：35°．
正确答案
解析
解：∵AB为直径，BC为圆的切线
且AD=DC
∴△ABC为等腰直角三角形，
设圆的半径为1，则OB=1，BC=2，0C=
∴sin∠BC0=
故答案为：
扫码查看完整答案与解析