- 弦切角的性质
- 共102题
正确答案
解：∵FG与⊙O相切于点G，∴FG2=FB•FA．
∵EF=FG，
∴EF2=FB•FA
∵∠EFA公用，∴△EFA∽△BFE
∴∠BEF=∠EAF
∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ECD=∠EAF
∴∠BEF=∠ECD．
∴EF∥BC．
解析
解：∵FG与⊙O相切于点G，∴FG2=FB•FA．
∵EF=FG，
∴EF2=FB•FA
∵∠EFA公用，∴△EFA∽△BFE
∴∠BEF=∠EAF
∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ECD=∠EAF
∴∠BEF=∠ECD．
∴EF∥BC．
正确答案
解：∵AB是圆的直径，
∴∠C=90°；
又AB=2，AC=1，
∴∠B=30°，
∵AD为⊙O的切线，
∴∠CAD=∠B=30°．
故答案为：30°．
解析
解：∵AB是圆的直径，
∴∠C=90°；
又AB=2，AC=1，
∴∠B=30°，
∵AD为⊙O的切线，
∴∠CAD=∠B=30°．
故答案为：30°．
（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；
（Ⅱ）若AC=AP，求
正确答案
∴∠BAP=∠C．
又∵∠APD=∠CPE，
∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE．
∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AED．…（5分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知∠BAP=∠C，
∵∠APC=∠BPA，
∵AC=AP，
∴∠APC=∠C
∴∠APC=∠C=∠BAP．
由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°．
∵BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°．
∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°．
∴
在Rt△ABC中，
∴
∵在△APC与△BPA中
∠BAP=∠C，∠APB=∠CPA，
∴△APC∽△BPA．
∴
∴
解析
∴∠BAP=∠C．
又∵∠APD=∠CPE，
∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE．
∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AED．…（5分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知∠BAP=∠C，
∵∠APC=∠BPA，
∵AC=AP，
∴∠APC=∠C
∴∠APC=∠C=∠BAP．
由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°．
∵BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°．
∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°．
∴
在Rt△ABC中，
∴
∵在△APC与△BPA中
∠BAP=∠C，∠APB=∠CPA，
∴△APC∽△BPA．
∴
∴
求证：AP平分∠CAB．
正确答案
因为l是⊙O的切线，
所以∠BPD=∠BAP．
又∠BPD+∠APC=90°，
∠APC+∠PAC=90°，
所以∠BPD=∠PAC，
∴∠PAC=∠BAP
即PA平分∠CAB．
解析
因为l是⊙O的切线，
所以∠BPD=∠BAP．
又∠BPD+∠APC=90°，
∠APC+∠PAC=90°，
所以∠BPD=∠PAC，
∴∠PAC=∠BAP
即PA平分∠CAB．
正确答案
解析
解：∵AC是⊙O的直径，B是⊙O上一点
∴∠ABC=90°
∵∠ABC的平分线与⊙O相交于D，BC=1，AB=
∴∠C=60°，∠BAC=30°，∠ABD=∠CBD=45°
由圆周角定理可知∠C=∠ADB=60°
△ABD中，由正弦定理可得
∴∠BOD=2∠BAD=150°
设所作的两切线交于点P，连接OB，OD，则可得OB⊥PB，OD⊥PD
即∠OBP=∠ODP=90°
∴点ODPB共圆
∴∠P+∠BOD=180°
∴∠P=30°
故答案为：
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