- 定积分求曲边梯形的面积
- 共602题
由曲线围成区域面积为______.
正确答案
解析
解:如图,曲线
围成区域面积为:
=sinxdx=-cosx
=
-(-
)=
.
故答案为:.
设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f′(x)=2x+2.
(1)求y=f(x)的表达式;
(2)求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积.
正确答案
解:(1)∵f′(x)=2x+2 设f(x)=x2+2x+c,
根据f(x)=0有两等根,得△=4-4c=0解得c=1,即f(x)=x2+2x+1;
(2)S==
.
解析
解:(1)∵f′(x)=2x+2 设f(x)=x2+2x+c,
根据f(x)=0有两等根,得△=4-4c=0解得c=1,即f(x)=x2+2x+1;
(2)S==
.
我国齐梁时代的数学家祖暅(公元前5-6世纪)提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这句话的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得的两个截面的面积总是相等,那么这两个几何体的体积相等.设:由曲线x2=4y和直线x=4,y=0所围成的平面图形,绕y轴旋转一周所得到的旋转体为Γ1;由同时满足x≥0,x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点(x,y)构成的平面图形,绕y轴旋转一周所得到的旋转体为Γ2.根据祖暅原理等知识,通过考察Γ2可以得到Γ1的体积为______.
正确答案
32π
解析
解:如图,两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间,
用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体,设截面与原点距离为|y|,所得截面面积 S1=π(42-4|y|),
S2=π(42-y2)-π[4-(2-|y|)2]=π(42-4|y|)
∴S1=S2,由祖暅原理知,两个几何体体积相等,
∵由同时满足x≥0,x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点(x,y)构成的平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体,它应该为一个大的球体减去两个球半径一样的小的球体,体积为•43-2•
•23=64π,
∴Γ1的体积为32π.
故答案为:32π.
若的展开式中x9的系数为
,则函数f(x)=sinx与直线x=a,x=-a及x轴围成的封闭图形的面积为( )
正确答案
解析
解:因为的展开式中x9的系数为
,展开式的通项为
=
,令18-3r=9得到r=3,所以
,解得a=2,
所以函数f(x)=sinx与直线x=2,x=-2及x轴围成的封闭图形如图
面积为:=2(-cosx)|
=2-2cos2;
故选A.
求由抛物线y=x2-2x+5与直线y=x+5所围成的图形的面积S.
正确答案
解:由抛物线y=x2-2x+5与直线y=x+5得x2-3x=0,解得:x=0,或x=3,
故积分区间[0,3],
由抛物线y=x2-2x+5与直线y=x+5所围成的图形的面积S=[(x+5)-(x2-2x+5)]dx
=(x2-
x3)
=
=
.
故答案为:.
解析
解:由抛物线y=x2-2x+5与直线y=x+5得x2-3x=0,解得:x=0,或x=3,
故积分区间[0,3],
由抛物线y=x2-2x+5与直线y=x+5所围成的图形的面积S=[(x+5)-(x2-2x+5)]dx
=(x2-
x3)
=
=
.
故答案为:.
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