定积分求曲边梯形的面积
共602题

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定积分求曲边梯形的面积
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题型：填空题

填空题

由y=x2，y=x2及x=1围成的图形的面积S=______．

正确答案

解析

解：由题意，S===．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）．

（Ⅰ）已知函数（其中），过f（x）图象是任意一点R的切线l将正方形ABCD截成两部分，设R点的横坐标为t，S（t）表示正方形ABCD被切线l所截的左下部分的面积，求S（t）的解析式；

（Ⅱ）试问S（t）在定义域上是否存在最大值和最小值？若存在，求出S（t）的最大值和最小值；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）设R（t，f（t））（其中），f（x）图象上的两端点为

又，

所以过点R（t，f（t））的切线l的方程为：…（2分）

（ⅰ）当切点为时，，切线l为：，

切线l与CD的交点坐标为．当切线过点D（0，1）时，…（4分）

故当时，切线l与CD相交，此时正方形ABCD被切线l所截的左下部分是直角梯形，S（t）=…（6分）

（ⅱ）当切线过点B（1，0）时，当时，切线l与AD，AB都相交，正方形ABCD被切线l所截的左下部分是直角三角形，S（t）=…（7分）

（ⅲ）当切点为时，切线l为：，切线l与BC的交点坐标为

故当时，切线l与AD，BC都相交，正方形ABCD被切线l所截的左下部分是直角梯形，S（t）=…（9分）

综上所述：…（10分）

（Ⅱ）解：当，，故S（t）在上递增，S（t）最大无限接近，S（t）无最大值和最小值…（11分）

当时，，S（t）在上递减，S（t）最大无限接近，S（t）无最大值和最小值…（12分）

故当，成立…（13分）

综上所述：S（t）在定义域上存在最大值，不存在最小值．…（14分）．

解析

解：（Ⅰ）设R（t，f（t））（其中），f（x）图象上的两端点为

又，

所以过点R（t，f（t））的切线l的方程为：…（2分）

（ⅰ）当切点为时，，切线l为：，

切线l与CD的交点坐标为．当切线过点D（0，1）时，…（4分）

故当时，切线l与CD相交，此时正方形ABCD被切线l所截的左下部分是直角梯形，S（t）=…（6分）

（ⅱ）当切线过点B（1，0）时，当时，切线l与AD，AB都相交，正方形ABCD被切线l所截的左下部分是直角三角形，S（t）=…（7分）

（ⅲ）当切点为时，切线l为：，切线l与BC的交点坐标为

故当时，切线l与AD，BC都相交，正方形ABCD被切线l所截的左下部分是直角梯形，S（t）=…（9分）

综上所述：…（10分）

（Ⅱ）解：当，，故S（t）在上递增，S（t）最大无限接近，S（t）无最大值和最小值…（11分）

当时，，S（t）在上递减，S（t）最大无限接近，S（t）无最大值和最小值…（12分）

故当，成立…（13分）

综上所述：S（t）在定义域上存在最大值，不存在最小值．…（14分）．

题型：填空题

填空题

如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y=sinx（0≤x≤π）与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是______．

正确答案

解析

解：根据定积分的几何意义，

可得图中阴影部分面积为S1=sinxdx=-cosx=（-cosπ）-（-cos0）=2，

∵矩形ABC0的面积为S=OA•OC=2π，

∴向矩形OABC内随机投一点，所投的点落在阴影部分的概率为P===．

故答案为：

题型：填空题

填空题

抛物线y=x2，x轴及直线AB：x=1围成如图所示的阴影部分，把线段OA等分成n等份，作以为底的内接矩形，阴影部分的面积S等于这些内接矩形面积之和当n→∞时的极限值，则S的值为______．

正确答案

解析

解：∵抛物线y=x2与直线AB：x=1的交点为A（1，1）

∴由定积分的几何意义，可得所求图形的面积为

S=x2dx==-0=

故答案为：

题型：填空题

填空题

（理）设函数f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积．已知函数y=sinnx在上的面积为，则函数y=cos3x+1在上的面积为______．

正确答案

解析

解：y=cos3x+1=sin（3x+）+1，令t=x+，则y=sin3t+1．t∈[，π]

在函数y=sinnx中，令n=3，得出函数y=sin3x在[0，]上的面积为．在[0，]上的面积为在[0，]上的面积的一半，等于．

函数y=cos3t+1图象由y=sin3t图象向上平移一个1个单位得到．

阴影部分面积为

故答案为：．

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