定积分求曲边梯形的面积
共602题

· 定积分求曲边梯形的面积

定积分求曲边梯形的面积
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题型：单选题

单选题

曲线y=sinx（0≤x≤π）与直线围成的封闭图形的面积是（　　）

正确答案

解析

解：令sinx=（0≤x≤π），则

∴曲线y=sinx（0≤x≤π）与直线围成的封闭图形的面积是=（-cosx-）=-cos-+cos+=

故选D．

题型：单选题

单选题

直线y=2x与曲线y=x2围成的图形的面积为（　　）

正确答案

解析

解：由直线y=2x与曲线y=x2，解得曲线y=x2及直线y=2x的交点为O（0，0）和A（2，4）．

因此，曲线y=x2及直线y=2x所围成的封闭图形的面积是

S=（2x-x2）dx=（x2-x3）=．

故选：A．

题型：填空题

填空题

如图，由曲线y=x2（x≥0）和直线x=0，x=2，y=1所围成的图形（阴影部分）的面积是______．

正确答案

解析

解：由题意及图象，曲线y=x2和直线y=1交点坐标是（1，1）

故阴影部分的面积是∫01（1-x2）dx+∫12（-1+x2）dx=（x-x3）|01+（-x+x3）|12=2

所围成的图形（阴影部分）的面积是2

故答案为：2

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）满足（其中为f（x）在点的导数，C为常数）

（I）若方程f（x）=0有且只有两个不等的实根，求常数C；

（II）在（I）的条件下，若，求函数f（x）的图象与X轴围成的封闭图形的面积．

正确答案

解：（I）∵函数f（x）满足

求其导数可得：

把x=代入可得，解得f′（）=-1

∴，

∴f′（x）=3x2-2x-1

由f′（x）=0，可解得，x2=1，

并且当x∈（-∞，）时f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，1）时

f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

故函数f（x）在x=处取到极大值，在x=1处取到极小值f（1）=c-1，

所以当方程f（x）=0有且只有两个不等的实根，则只需=0或f（1）=0，

解得c=或c=1．

（II）在（I）的条件下，若，则，

∴c=1，故f（x）=x3-x2-x+1

可解得方程f（x）=x3-x2-x+1=0的两个根为±1，

∴函数f（x）的图象与对轴围成的封闭图形的面积为

解析

解：（I）∵函数f（x）满足

求其导数可得：

把x=代入可得，解得f′（）=-1

∴，

∴f′（x）=3x2-2x-1

由f′（x）=0，可解得，x2=1，

并且当x∈（-∞，）时f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，1）时

f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

故函数f（x）在x=处取到极大值，在x=1处取到极小值f（1）=c-1，

所以当方程f（x）=0有且只有两个不等的实根，则只需=0或f（1）=0，

解得c=或c=1．

（II）在（I）的条件下，若，则，

∴c=1，故f（x）=x3-x2-x+1

可解得方程f（x）=x3-x2-x+1=0的两个根为±1，

∴函数f（x）的图象与对轴围成的封闭图形的面积为

题型：填空题

填空题

直线y=x与曲线y=4x2围成的封闭图形的面积为______．

正确答案

解析

解：由曲线y=4x2与直线y=x，解得交点为O（0，0）和A（，），因此，曲线y=x及直线y=4x2所围成的封闭图形的面积是=（）|=；

故答案为：．

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