· 定积分的简单应用

· 定积分求曲边梯形的面积

定积分求曲边梯形的面积
共602题

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1

题型：单选题

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单选题

曲线y=xsinx在点处的切线与x轴、直线x=π所围成的三角形的面积为（　　）

A

Bπ2

C2π2

D

正确答案

A

解析

解：求导数可得y′=sinx+xcosx，

∴x=-时，f′（-）=-1

∴曲线f（x）=xsinx在x=-处的切线方程为y-=-（x+），即x+y=0

当x=0时，y=0．即切线与坐标轴的交点为（0，0），

∴切线与x轴，直线x=1所围成的三角形面积为：

S=×π×π=．

故选A．

1

题型：填空题

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填空题

由直线及y=sinx所围成的封闭图形的面积为______．

正确答案

解析

解：先画出直线及y=sinx所围成的封闭图形，

图形的面积为

S=∫sinxdx

=-cosx

=-cos+cos

=

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

由曲线y=x2，y=0，x=1所围成图形的面积为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：∵曲线y=x2和直线L：x=2的交点为A（1，1），

∴曲线C：y=x2、直线L：x=1与x轴所围成的图形面积为：

S=x2dx=x3=．

故选B．

1

题型：填空题

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填空题

由曲线y=x2和直线y=x及y=2x所围成的平面图形面积______．

正确答案

解析

解：在同一直角坐标系下作出曲线y=x2，直线y=x，y=2x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积．

解方程组，得交点（0，0），（1，1），解方程组得交点（0，0），（2，4），

∴所围成的图形面积为：S==x2=+=；

故答案为：．

1

题型：简答题

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简答题

（1）设Sn=1+++…+，试比较Sn与曲线y=，x轴及直线x=1和x=n+1围成的面积的大小．

（2）求证：1+++…+＜3．

正确答案

（1）解：曲线y=，x轴及直线x=1和x=n+1围成的面积S==lnx=ln（n+1），

令h（x）=ln（1+x）-x，h′（x）=-

h（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减

∴x＞-1时，h（x）≤0⇒ln（x+1）≤x

令x=，则＞ln（1+）=ln（n+1）-lnn

∴Sn=1+++…+＞ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（n+1）-lnn=ln（n+1）=S；

（2）证明：构造数列an=1+++…+-（3-），

则an+1=1+++…++-（3-），

∴an+1-an=，

∵n（2n+3）2-（n+1）（2n+2）2＜0，

∴an+1-an＜0

∴an+1＜an，

∴an=1+++…+-（3-）≤a1=0

∴1+++…+≤3-＜3

解析

（1）解：曲线y=，x轴及直线x=1和x=n+1围成的面积S==lnx=ln（n+1），

令h（x）=ln（1+x）-x，h′（x）=-

h（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减

∴x＞-1时，h（x）≤0⇒ln（x+1）≤x

令x=，则＞ln（1+）=ln（n+1）-lnn

∴Sn=1+++…+＞ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（n+1）-lnn=ln（n+1）=S；

（2）证明：构造数列an=1+++…+-（3-），

则an+1=1+++…++-（3-），

∴an+1-an=，

∵n（2n+3）2-（n+1）（2n+2）2＜0，

∴an+1-an＜0

∴an+1＜an，

∴an=1+++…+-（3-）≤a1=0

∴1+++…+≤3-＜3

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