热门试卷

（I）见解析（II）1

（Ⅰ）证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形.

过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.

连结OA，OB,OD,OE.

由和都是等边三角形知PA=PB=PD，

所以OA=OB=OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，

故，从而.         

因为O是BD的中点，E是BC的中点，

所以OE//CD.因此.   

（Ⅱ）解：取PD的中点F，连结OF，则OF//PB.

由（Ⅰ）知，，故.

又，，

故为等腰三角形，因此.

又，所以平面PCD.

因为AE//CD，平面PCD，平面PCD，所以AE//平面PCD.

因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而，

所以A至平面PCD的距离为1.

（1）解题的关键是辅助线的添加，取BC的中点E是入手点，然后借助三垂线定理进行证明；（2）求点面距的求解方法比较多，在解题过程中，如何根据题设条件恰当选择相适应的方法是比较棘手的问题。根据解题经验，总结下面常用的技巧：（1）若直接能够确定点在平面的射影，可考虑用直接法，找出点面距.一般在一些规则的几何体中，顶点在底面的射影比较容易确定.如有时要利用两个平面垂直的性质，在其中一个平面内作两个平面交线的垂线即得；（2）如果能够构造出三棱锥，要找的点面距恰好是三棱锥的高，此时利用等体积法比较简单，但是应该明确另一个顶点到对应底面的距离和底面面积两个量，才能顺利求解，计算过程较为麻烦，但是不用添加辅助线找垂线段. （3）若不易找出射影位置，可考虑利用转移的方法，即把不易求的点到平面的距离借助转移手法，变为求另外一点到平面的距离，然后通过这两点到平面的距离的数量关系求得所求距离的方法，常用的手段有平行转移和等比例转移.

【考点定位】本题考查线线垂直的证明和二面角的求解，考查学生的空间想象能力和计算能力。

解：（1）在中，，且，

则，过作交于，可知，

∴，，          …………………………4分

∴

同理，                            ……………………………6分

(2)如图，建立空间直角坐标系，

,,

设是平面的法向量

则

解得，又平面，

∴            ……………………………12分

略

,或

试题分析：求出倾斜角是45°的直线的斜率，设出直线方程，利用原点与直线的距离为5，求出直线方程中的未知数，即可确定直线方程．

试题解析：

因直线斜率为tan45°=1，可设直线方程，化为一般式，

由直线与原点距离是5，得，

所以直线方程为,或.

（1）；（2）．

试题分析：（1）本题中取中点，将会出现许多垂直，这正是我们解题时需要的结果，由于，则，由于平面平面，则平面，是正三角形，则，有了这些垂直后，就可以建立空间直角坐标系（以为原点，分别为轴），写出相应点的坐标，计算所需向量的坐标，设分别是二面角的两个面的法向量，则二面角的余弦值，就等于（或者其相反数，这要通过图形观察确定）；（2）设平面的法向量是，则点以平面的距离为．

试题解析：⑴取中点,连结､.∵,,

∴,.∵平面平面,

平面平面,∴平面,∴.  

如图所示建立空间直角坐标系,则,,,

∴.

∴．

设为平面的一个法向量，

则，

取，则，∴，

又为平面的一个法向量，

，即二面角的余弦值为．

(2)由⑴得,又为平面的一个法向量,,

∴点到平面的距离.