圆内接四边形的性质与判定定理
共255题

圆内接四边形的性质与判定定理
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题型：简答题

简答题

如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD．

（Ⅰ）求证：l是⊙O的切线；

（Ⅱ）若⊙O的半径OA=5，AC=4，求CD的长．

正确答案

（Ⅰ）证明：连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，

所以AC∥BD．

又OA=OB，PC=PD，

所以OP∥BD，从而OP⊥l．

因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．

（Ⅱ）解：由上知OP=（AC+BD），

所以BD=2OP-AC=6，

过点A作AE⊥BD，垂足为E，则BE=BD-AC=6-4=2，

在Rt△ABE中，AE==4，

∴CD=4．

解析

（Ⅰ）证明：连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，

所以AC∥BD．

又OA=OB，PC=PD，

所以OP∥BD，从而OP⊥l．

因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．

（Ⅱ）解：由上知OP=（AC+BD），

所以BD=2OP-AC=6，

过点A作AE⊥BD，垂足为E，则BE=BD-AC=6-4=2，

在Rt△ABE中，AE==4，

∴CD=4．

题型：填空题

填空题

如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，AE=2，ED=4．

（1）求证：△ABE∽△ADB，并求AB的长；

（2）延长DB到F，使BF=BO，连接FA，那么直线FA与⊙O相切吗？为什么？

正确答案

解析

证明：（1）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C．

∵∠C=∠D，

∴∠ABC=∠D．

又∵∠BAE=∠DAB，

∴△ABE∽△ADB，（3分）

∴，

∴AB2=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12，

∴AB=2．（5分）

解：（2）直线FA与⊙O相切．（6分）

理由如下：

连接OA，

∵BD为⊙O的直径，

∴∠BAD=90°，

∴BD=，

∴BF=BO=．

∵AB=2，

∴BF=BO=AB，即△ABO为等边三角形，∠BFA=∠BAF

∴∠BAO=∠OBA=60°，又∵∠OBA=∠BFA+∠BAF

∴∠BFA=∠BAF=30°

∴∠OAF=∠BAF+∠BAO=90°．

∴直线FA与⊙O相切．（8分）

题型：填空题

填空题

如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E．

求证：（1）AD=AE；（2）AB•AE=AC•DB．

正确答案

解析

证明：（1）∵∠ADE=∠APD+∠PAD，∠AED=∠CPE+∠C，

又∠APD=∠CPE，∠PAD=∠C．

∴∠ADE=∠AED．

∴AD=AE．

（2）∵∠APB=∠CPA，∠PAB=∠C，

∴△APB∽△CPA，得．

∵∠APE=∠BPD，∠AED=∠ADE=∠PDB，

∴△PBD∽△PEA，得．

∴．

∴AB•AE=AC•DB．

题型：简答题

简答题

如图，圆O的直径AB、BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．

（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC；

（Ⅱ）若HE=2a，求ED．

正确答案

（Ⅰ）证明：∵BE为圆0的切线，BD为圆0的弦，∴根据弦切角定理知∠DBE=∠DAB…（2分）

由AD为∠DAB=∠DAC的平分线知∠DAB=∠DAC，

又∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DAB

∴∠DBE=∠DBC…（5分）

（Ⅱ）解：∵⊙O的直径AB

∴∠ADB=90°，

又由（1）得∠DBE=∠DBH，

∵HE=2a，

∴ED=a．

解析

（Ⅰ）证明：∵BE为圆0的切线，BD为圆0的弦，∴根据弦切角定理知∠DBE=∠DAB…（2分）

由AD为∠DAB=∠DAC的平分线知∠DAB=∠DAC，

又∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DAB

∴∠DBE=∠DBC…（5分）

（Ⅱ）解：∵⊙O的直径AB

∴∠ADB=90°，

又由（1）得∠DBE=∠DBH，

∵HE=2a，

∴ED=a．

题型：简答题

简答题

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，DE⊥AC交AC延长线于点E，OE交AD于点F．求证：ED是⊙O的切线．

正确答案

证明：连接OD，

∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ADO，

∵∠EAD=∠BAD，

∴∠EAD=∠ADO，

∴OD∥AE，

∴∠AED+∠ODE=180°，

∵DE⊥AC，即∠AED=90°，

∴∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线．

解析

证明：连接OD，

∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ADO，

∵∠EAD=∠BAD，

∴∠EAD=∠ADO，

∴OD∥AE，

∴∠AED+∠ODE=180°，

∵DE⊥AC，即∠AED=90°，

∴∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线．

题型：单选题

单选题

如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O切线AD，BA⊥DA于点A，BA交半圆于点E．已知BC=10，AD=4．那么直线CE与以点O为圆心，为半径的圆的位置关系是（　　）

A相离

B相交

C相切

D不确定

正确答案

解析

解：连接OD交CE于F，则OD⊥AD．

又BA⊥DA，

∴OD∥AB．

∵OB=OC，

∴CF=EF，

∴OD⊥CE，

则四边形AEFD是矩形，得EF=AD=4．

连接OE．

在直角三角形OEF中，根据勾股定理得OF==3＞，

即圆心O到CE的距离大于圆的半径，则直线和圆相离．

故选A．

题型：简答题

简答题

如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．

（Ⅱ）BC2=BE•CD．

正确答案

解：（Ⅰ）因为，

所以∠BCD=∠ABC．

又因为EC与圆相切于点C，

故∠ACE=∠ABC

所以∠ACE=∠BCD．（5分）

（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，

所以△BDC～△ECB，

故．

即BC2=BE×CD．（10分）

解析

解：（Ⅰ）因为，

所以∠BCD=∠ABC．

又因为EC与圆相切于点C，

故∠ACE=∠ABC

所以∠ACE=∠BCD．（5分）

（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，

所以△BDC～△ECB，

故．

即BC2=BE×CD．（10分）

题型：填空题

填空题

如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，BC=6，以AB为直径作⊙O，连接OC，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，若sin∠OCD=，则直径AB=______．

正确答案

解析

解：连接OD，则OD⊥CD．

∵∠ABC=90°，∴CD、CB为⊙O的两条切线．

∴根据切线长定理得：CD=BC=6．

在Rt△OCD中，sin∠OCD=，

∴tan∠OCD=，OD=tan∠OCD×CD=8．

∴AB=2OD=16．

故答案为16．

题型：填空题

填空题

如图，P是圆O外的一点，PD为切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，PF=6，PD=2，则∠DFP=______°．

正确答案

解析

解：连接OD，则OD垂直于切线，

根据切割线定理可得PD2=PE•PF，

∴PE=2，

∴圆的直径是4，

在直角三角形POD中，

OD=2，PO=4，

∴∠P=30°，

∴∠DEF=60°，

∴∠DFP=30°，

故答案为：30°

题型：单选题

单选题

如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B=60°，则∠CAD等于（　　）

A30°

B60°

C90°

D120°

正确答案

解析

解：∵DA与△ABC的外接圆相切于点A，

由弦切角定理得：

∴∠CAD=∠B=60°．

故选B．

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