圆内接四边形的性质与判定定理
共255题

圆内接四边形的性质与判定定理
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题型：填空题

填空题

如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，则点A到直线l的距离AD为______．

正确答案

解析

解：C为圆周上一点，AB是直径，

所以AC⊥BC，而BC=3，AB=6，得∠BAC=30°，

进而得∠B=60°，

所以∠DCA=60°，

又∠ADC=90°，得∠DAC=30°，

∴．

故答案为．

题型：简答题

简答题

如图，CD是圆O的切线，切点为C，点B在圆O上，BC=2，∠BCD=60°，则圆O的面积为______．

正确答案

解：∵弦切角等于同弧上的圆周角，∠BCD=60°，

∴∠BOC=120°，

∵BC=2，

∴圆的半径为：=2，

∴圆的面积为：π•22=4π．

故答案为：4π．

解析

解：∵弦切角等于同弧上的圆周角，∠BCD=60°，

∴∠BOC=120°，

∵BC=2，

∴圆的半径为：=2，

∴圆的面积为：π•22=4π．

故答案为：4π．

题型：填空题

填空题

如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB=OB=2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则PC=______，CD=______．

正确答案

解析

解：由切割线定理得PC2=PB•PA=12，

∴；连接OC，则，

∴∠P=30°，

∴．

故填：，．

题型：填空题

填空题

如图，已知⊙O的直径AB=10，C为圆周上一点，AC=6，过点C作⊙O的切线l，过点A作l的垂线AD，垂足为D，则CD=______．

正确答案

解析

解：∵⊙O的直径AB=10，C为圆周上一点，AC=6，

则∠ACB=90°，BC=8

又∵直线l为圆O的切线，

∴∠ACD=∠ABC，

又∵AD⊥CD，即∠ADC=∠ACB=90°

∴△ABC∽△ACD

∴CD==

故答案为：

题型：单选题

单选题

如图，PB为圆O的切线，B为切点，连接PO交圆O于点A，PA=2，PO=5，则PB的长为（　　）

正确答案

解析

解：连接OB，则OB⊥PB，

在Rt△POB中，

OB=OA=PO-AP=3，PO=5，

∴PB==4．

故选A．

题型：填空题

填空题

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．

（1）求证：点E是边BC的中点；

（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直径AC的长度．

正确答案

解析

证明：（1）连接DO；

∵∠ACB=90°，AC为直径，

∴EC为⊙O的切线；

又∵ED也为⊙O的切线，

∴EC=ED，

又∵∠EDO=90°，

∴∠BDE+∠ADO=90°，

∴∠BDE+∠A=90°°

又∵∠B+∠A=90°，

∴∠BDE=∠B，

∴EB=ED，

∴EB=EC，即点E是边BC的中点；

（2）∵BC，BA分别是⊙O的切线和割线，

∴BC2=BD•BA，

∴（2EC）2=BD•BA，即BA•2 =36，

∴BA=3 ，

在Rt△ABC中，由勾股定理得

AC===3 ．

题型：填空题

填空题

如图，已知PA是⊙O的切线，切点为A，点B是⊙O上一点，且PA=PB，判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由．

正确答案

解析

解：PB与⊙O的位置关系：相切．

理由如下：连接OA，OB，OP，

在△PAO和△PBO中，

PA=PB，OA=OB，PO=PO，

则△PAO≌△PBO，

则∠PAO=∠PBO，

由于PA⊥OA，则PB⊥OB，

故PB与⊙O相切．

题型：填空题

填空题

（几何证明选讲选做题）如图，∠ACB=90°，AC是圆O的切线，切点为E，割线ADB过圆心O，若，则BC的长为______．

正确答案

解析

解：∵AC是圆O的切线，∴OE⊥AC．

又∵∠ACB=90°，∴OE∥BC．

∴．

由切割线定理可得：AE2=AD•AB，

∴，解得R=1．

∴，解得BC=．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

如图，△ABO中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F．

（1）求证：AB是⊙O切线；

（2）若∠B=30°，且AB=4 ，求的长（结果保留π）

正确答案

证明：（1）连接OC，

∵OA=OB，C是AB的中点，

∴OC⊥AB．

∵点C在⊙O上，

∴AB是⊙O切线．（4分）

解：（2）∵OA=OB，∠B=30°，

∴∠EOF=120°．

∵C为AB的中点，AB=4 ，

∴BC=．

在Rt△OCB中，令OC=r，则OB=2r，

列出方程为（2r）2-r2=（）2

解得：r=2．（3分）

的长==．（3分）

解析

证明：（1）连接OC，

∵OA=OB，C是AB的中点，

∴OC⊥AB．

∵点C在⊙O上，

∴AB是⊙O切线．（4分）

解：（2）∵OA=OB，∠B=30°，

∴∠EOF=120°．

∵C为AB的中点，AB=4 ，

∴BC=．

在Rt△OCB中，令OC=r，则OB=2r，

列出方程为（2r）2-r2=（）2

解得：r=2．（3分）

的长==．（3分）

题型：简答题

简答题

如图，⊙O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，PC=______．

正确答案

解：连接OC，则直角△PCO中，

∠CPA=30°，OP=2OC=6，

∴PB=OP-OB=OP-OC=6-3=3，

∵过P点作⊙O的切线，切点为C

∴PC2=PB×PA=27

∴PC=3．

故答案为：3

解析

解：连接OC，则直角△PCO中，

∠CPA=30°，OP=2OC=6，

∴PB=OP-OB=OP-OC=6-3=3，

∵过P点作⊙O的切线，切点为C

∴PC2=PB×PA=27

∴PC=3．

故答案为：3

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