- 圆内接四边形的性质与判定定理
- 共255题
（选做题）
如图，CB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，AP与CB的延长线交于点P，A为切点，若PA=10，PB=5，∠BAC的平分线AE与BC和⊙O分别交于点D、E。求AD·DE的值。
正确答案
解：连结CE，
∵
∴
又∵PA与⊙O相切于点A，
∴
∴
∴
∵BC为⊙O的直径，
∴
可解得
又∵AE平分∠BAC，
∴
又∵
∴
∴
如图，已知AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，切线BF交AD的延长线于F，若AB=10，CD=8，则切线BF的长是 ______．
正确答案
连接OD，
AB⊥CD于E，根据垂径定理得到DE=4，
在直角△ODE中，根据勾股定理得到OE=3，因而AE=8，
易证△ABF∽△AED，得到 
解得BF=5．
如图，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC=1，∠BCD=30°，则圆O的面积为（ ）。
正确答案
π
（选做题）
如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为（ ）。
正确答案
4
如图，CD是圆O的切线，切点为C，点B在圆O上，BC=2，∠BCD=30°，则圆O的面积为（ ）。
正确答案
4π
（选做题）
若直角△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，且AD=1，BD=2，则△ABC的面积为（ ）．
正确答案
2
如图，AB是圆O的直径，P在AB的延长线上，PD 切圆O于点C。已知圆O半径为
正确答案
1；75°
（选做题）
如图，ΔABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E，
（Ⅰ）求证：ΔABE≌ΔACD；
（Ⅱ）若AB=6，BC=4，求AE。
正确答案
解：（Ⅰ）在ΔABE和ΔACD中，
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，
又∠BAE=∠EDC，
∵BD∥MN，
∴∠EDC=∠DCN，
∵直线是圆的切线，
∴∠DCN=∠CAD，
∴∠BAE=∠CAD，
∴ΔABE≌ΔACD（角、边、角）。
（Ⅱ）∵∠EBC=∠BCM，∠BCM=∠BDC，
∴∠EBC=∠BDC=∠BAC，BC=CD=4，
又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB，
∴BC=BE=4，
设AE=x，易证ΔABE∽ΔDEC，
∴
又AE·EC=BE·ED，EC=6-x，
∴
已知圆O：x2+y2=4，点P为直线l：x=4上的动点，
(1)若从P到圆O的切线长为2
(2)若点A(-2，0)，B(2，0)，直线PA、PB与圆O的另一个交点分别为M、N，求证：直线MN经过定点(1，0)。
正确答案
解：根据题意，设P(4，t)，
(1)设两切点为C、D，则OC⊥PC，OD⊥PD，
由题意可知，
即
所以点P的坐标为(4，0)，
在Rt△POC中，易得∠POC=60°，所以∠DOC=120°，
所以两切线所夹劣弧长为
(2)设M(x1，y1)、N(x2，y2)，Q(1，0)，
依题意，直线PA经过点A(-2，0)，P(4，t)，
可以设直线AP的方程为
代入消元得到，
因为直线AP经过点A(-2，0)、M(x1，y1)，所以-2、x1是方程的两个根，
所以有
代入直线方程
同理，设直线BP的方程为
代入消元得到
因为直线BP经过点B(2，0)、N(x2，y2)，所以2、x2是方程的两个根，
所以有
代入
若
显然M、Q、N三点在直线x=1上，即直线MN经过定点Q(1，0)；
若x1≠1，则t2≠12，x2≠1，所以有
所以
即直线MN经过定点Q(1，0)；
综上所述，直线MN经过定点Q(1，0)。
（选做题）
如图：在Rt∠ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接AE交⊙O于点F，求证：BE·CE=EF·EA。
正确答案
证明：因为Rt△ABC中，∠ABC=90°，
所以OB⊥CB，
所以CB为⊙O的切线，
所以EB2=EF·FA，
连接OD，因为AB=BC，
所以∠BAC=45°，
所以∠BOD=90°，
在四边形BODE中，∠BOD=∠OBE=∠BED=90°，
所以BODE为矩形，
所以BE=OD=OB=
即BE=CE，
所以BE·CE=EF·EA。
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