- 圆内接四边形的性质与判定定理
- 共255题
正确答案
60°
解析
解：连接OO′，AO′，B0′，设圆的半径为r
根据切线的性质可得AO′⊥AO，BO′⊥BO
由两圆相外切可得，OO′=2r，AO′=BO′=r
∴∠AOO′=∠BOO′=30°，∠AO′B=2×60°=120°
由圆周角定理可得，
故答案为：60°
正确答案
解：设∠EAC=α，根据弦切角定理，∠ABE=α．
根据三角形外角定理，∠AEC=90°+α．
根据三角形内角和定理，∠ACE=90°-2α．
由于CD是∠ACB的内角平分线，所以FCE=45°-α．（5分）
再根据三角形内角和定理，∠CFE=180°-（90°+α）-（45°-α）=45°．（7分）
根据对顶角定理，∠AFD=45°．
由于∠DAF=90°，所以∠ADF=45°．（10分）
解析
解：设∠EAC=α，根据弦切角定理，∠ABE=α．
根据三角形外角定理，∠AEC=90°+α．
根据三角形内角和定理，∠ACE=90°-2α．
由于CD是∠ACB的内角平分线，所以FCE=45°-α．（5分）
再根据三角形内角和定理，∠CFE=180°-（90°+α）-（45°-α）=45°．（7分）
根据对顶角定理，∠AFD=45°．
由于∠DAF=90°，所以∠ADF=45°．（10分）
如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠BAD．
（Ⅰ）求证：直线CE是⊙O的切线；（Ⅱ）求证：AC2=AB•AD．
正确答案
因为OA=OC，
所以∠OCA=∠OAC
又因为AD⊥CE，
所以∠ACD+∠CAD=90°，
又因为AC平分∠BAD，
所以∠OCA=∠CAD，
所以∠OCA+∠CAD=90°，
即OC⊥CE，
所以CE是⊙O的切线
（Ⅱ）连接BC，
因为AB是⊙O的直径，
所以∠BCA=∠ADC=90°，
因为CE是⊙O的切线，
所以∠B=∠ACD，
所以△ABC∽△ACD，
所以
即AC2=AB•AD．
解析
因为OA=OC，
所以∠OCA=∠OAC
又因为AD⊥CE，
所以∠ACD+∠CAD=90°，
又因为AC平分∠BAD，
所以∠OCA=∠CAD，
所以∠OCA+∠CAD=90°，
即OC⊥CE，
所以CE是⊙O的切线
（Ⅱ）连接BC，
因为AB是⊙O的直径，
所以∠BCA=∠ADC=90°，
因为CE是⊙O的切线，
所以∠B=∠ACD，
所以△ABC∽△ACD，
所以
即AC2=AB•AD．
（Ⅰ）求证：DE2=DB•DA．
（Ⅱ）若BE=1，DE=2AE，求DF的长．
正确答案
∵∠OFC=∠OCF，
∵DF是⊙O的切线，
∴OF⊥DF，
又∵OC垂直于弦AB，
∴∠AEC=∠DFE，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，∵DF是⊙O的切线，
∴DF2=DB•DA，∴DE2=DB•DA
（II）设AE=x，
则DE=2x，DF=2x，
∵DF2=DB•DA，
∴（2x）2=3x（2x-1），
解得2x=3，
∴DF的长为3．
解析
∵∠OFC=∠OCF，
∵DF是⊙O的切线，
∴OF⊥DF，
又∵OC垂直于弦AB，
∴∠AEC=∠DFE，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，∵DF是⊙O的切线，
∴DF2=DB•DA，∴DE2=DB•DA
（II）设AE=x，
则DE=2x，DF=2x，
∵DF2=DB•DA，
∴（2x）2=3x（2x-1），
解得2x=3，
∴DF的长为3．
正确答案
8
解析
解：因为AC是圆O′的切线，
∴∠CAB=∠D，
∵AD是圆O的切线，
∴∠BAD=∠C，
∴△ABC∽△DBA，
∴
∴BD=
故答案为：8
（Ⅰ）求证：C，D，E，F四点共圆；
（Ⅱ）若GH=6，GE=4，求EF的长．
正确答案
证明：（1）连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，
又∵∠ABD=∠ACD，∴
∴C，D，E，F四点共圆；
（2）∵C，D，E，F四点共圆，∴GE•GF=GC•GD．
∵GH是⊙O的切线，∴GH2=GC•GD，∴GH2=GE•GF．
又因为GH=6，GE=4，所以GF=9．
∴EF=GF-GE=9-4=5．
解析
证明：（1）连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，
又∵∠ABD=∠ACD，∴
∴C，D，E，F四点共圆；
（2）∵C，D，E，F四点共圆，∴GE•GF=GC•GD．
∵GH是⊙O的切线，∴GH2=GC•GD，∴GH2=GE•GF．
又因为GH=6，GE=4，所以GF=9．
∴EF=GF-GE=9-4=5．
正确答案
解析
∵弦AB与小半圆相切，AB∥CD，
∴OE⊥AB，EB=
在Rt△OBE中，
OB2=OE2+EB2，
∴OB2-OE2=EB2=64，
S阴影=
故图中阴影部分的面积为32πcm2．
故选C．
（1）求PF的长度．
（2）若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．
正确答案
结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，
又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，
从而∠PFD=∠OCP，故△PFD∽△PCO，∴
由割线定理知PC•PD=PA•PB=12，故
（2）若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF=2-r=1即r=1
所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT
则PT2=PB•PO=2×4=8，即
解析
结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，
又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，
从而∠PFD=∠OCP，故△PFD∽△PCO，∴
由割线定理知PC•PD=PA•PB=12，故
（2）若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF=2-r=1即r=1
所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT
则PT2=PB•PO=2×4=8，即
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=
正确答案
解析
（I）证明：如图所示，连接DE．
∵DB垂直交圆于点D，∴∠DBE=90°．
∴DE为圆的直径．
∵∠的角平分线交圆于点E，
∴
∴
∴∠DCB=∠DBC，
∴DB=DC．
（II）解：由（I）可知：DE⊥BC，且平分BC，设中点为M，外接圆的圆心为点O．
连接OB，OC，则OB⊥AB．
在Rt△BOM中，OB=1，BM=
∴∠OBM=30°，∠BOE=60°．
∴∠CBA=60°．
∴
∴∠BFC=90°．
∴△BCF外接圆的半径=
则OC的长等______．
正确答案
解：设BC的长为x，则OC的长为1+x，
∵OA=OB，∠OBA=75°，
∴∠AOC=180°-75°×2=30°．
∴AC=sin∠AOC×OC=
在Rt△OAC中，OC2=OA2+AC2
即（1+x）2=12+（ 
∴x=-1+
∴OC=OB+BC=
故答案为：
解析
解：设BC的长为x，则OC的长为1+x，
∵OA=OB，∠OBA=75°，
∴∠AOC=180°-75°×2=30°．
∴AC=sin∠AOC×OC=
在Rt△OAC中，OC2=OA2+AC2
即（1+x）2=12+（
∴x=-1+
∴OC=OB+BC=
故答案为：
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