圆内接四边形的性质与判定定理
共255题

圆内接四边形的性质与判定定理
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题型：简答题

简答题

如图，AB切圆O于B，AB=，AC=1，求AO的长．

正确答案

解：设圆的半径为r，由切割线定理可得：AB2=AC•（AC+2r），

∴3=1×（1+2r），解得r=1．

∴AO=AC+r=1+1=2．

解析

解：设圆的半径为r，由切割线定理可得：AB2=AC•（AC+2r），

∴3=1×（1+2r），解得r=1．

∴AO=AC+r=1+1=2．

题型：填空题

填空题

（考生注意：只能从下列A、B、C三题中选做一题，如果多做，则按第一题评阅记分）

A．（坐标系与参数方程选做题）曲线（α为参数）与曲线ρ2-2ρcosθ=0的交点个数为______．

B．（不等式选讲选做题）设函数，若函数f（x）的定义域为R，则实数a的取值范围是______．

C．（几何证明选讲选做题）如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AC=6，圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为，则AD=______．

正确答案

（-∞，3]

解析

解：A、由题设知：把参数方程消去参数化为普通方程得 x2+（y-1）2=1，圆心坐标为（0，1），半径为1；

把极坐标方程化为直角方程得 x2+y2-2x=0，即（x-1）2+y2=1，圆心坐标为（1，0），半径为1；

∵两圆心距为2，且0=1-1＜＜1+1=2，故两圆相交，所以有2个公共点．

B、∵函数，函数f（x）的定义域为R，

∴|x+1|+|x-2|-a≥0的解集为R

∴a≤|x+1|+|x-2|恒成立

∵|x+1|+|x-2|≤3

∴a≤3

C、过O作OE⊥AC，垂足为E，则E是BC的中点

∵圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为

∴EC=2，∴BC=4

∵AC=6，∴AB=2

∵圆的切线为AD和割线为ABC

∴AD2=AB×AC

∴

故答案为：2；（-∞，3]；

题型：单选题

单选题

如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90度，OA的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径等于（　　）

正确答案

解析

解：设圆O与AC的切点为M，圆的半径为r，

∵∠C=90°

∴CM=r，

∵△AOM∽△ADC，

∴OM：CD=AM：AC，

即r：1=（4-r）：4，

解得r=．

故选A．

题型：填空题

填空题

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD=120°，BD=10．

（1）求证：CA=CD；

（2）求⊙O的半径．

正确答案

解析

解：

（1）连接OC．

∵DC切⊙O于点C，

∴∠OCD=90°．

又∵∠ACD=120°，

∴∠ACO=∠ACD-∠OCD=120°-90°=30°．

∵OC=OA，

∴∠A=∠ACO=30°，

∴∠COD=60°．

∴∠D=30°，

∴CA=DC．

（2）∵sin∠D===，

sin∠D=sin30°=，

∴=．

解得OB=10．

即⊙O的半径为10．

题型：简答题

简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，已知圆上的，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．

（Ⅰ）证明：∠ACE=∠BCD；

（Ⅱ）若BE=9，CD=1，求BC的长．

正确答案

（Ⅰ）证明：∵，∴∠ABC=∠BCD．

又∵EC为圆的切线，∴∠ACE=∠ABC，

∴∠ACE=∠BCD．

（Ⅱ）∵EC为圆的切线，∴∠CDB=∠BCE，

由（Ⅰ）可得∠BCD=∠ABC．

∴△BEC∽△CBD，∴，

∴BC2=CD•EB=1×9=9，解得BC=3．

解析

（Ⅰ）证明：∵，∴∠ABC=∠BCD．

又∵EC为圆的切线，∴∠ACE=∠ABC，

∴∠ACE=∠BCD．

（Ⅱ）∵EC为圆的切线，∴∠CDB=∠BCE，

由（Ⅰ）可得∠BCD=∠ABC．

∴△BEC∽△CBD，∴，

∴BC2=CD•EB=1×9=9，解得BC=3．

题型：简答题

简答题

如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．

（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．

正确答案

解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，

在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，

连接OE，则∠OBE=∠OEB，

又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，

∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）设CE=1，AE=x，

由已知得AB=2，BE=，

由射影定理可得AE2=CE•BE，

∴x2=，即x4+x2-12=0，

解方程可得x=

∴∠ACB=60°

解析

解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，

在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，

连接OE，则∠OBE=∠OEB，

又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，

∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）设CE=1，AE=x，

由已知得AB=2，BE=，

由射影定理可得AE2=CE•BE，

∴x2=，即x4+x2-12=0，

解方程可得x=

∴∠ACB=60°

题型：填空题

填空题

（选做题）（几何证明选讲）如图所示，过圆C外一点P做一条直线与圆C交于A，B两点，BA=2AP，PT与圆C相切于T点．已知圆C的半径为2，∠CAB=30°，则PT=______．

正确答案

解析

解：∵圆C的半径为2，∠CAB=30°，

∴，

又∵BA=2AP，

∴，

又∵PT与圆C相切于T点．

由切割线定理可得：

PT2=PA•PB=9，

∴PT=3

故答案为：3．

题型：单选题

单选题

△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，则∠FDE与 ∠A的关系是（　　）

A∠FDE+∠A=90°

B∠FDE=∠A

C∠FDE+∠A=180°

D无法确定

正确答案

解析

解：连接IE，IF，则有∠AEI=∠IFA=90°，

∴∠EIF=180°-∠A，

∴∠FDE=∠EIF=90°-∠A，

∴∠FDE+∠A=90°．

故选A．

题型：填空题

填空题

如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则BD的长为=______．

正确答案

解析

解：∵易知AB==5，

又由切割线定理得BC2=BD•AB，

∴42=BD•5，

∴BD=．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点．

（1）求证：AD∥OC；

（2）若⊙O的半径为1，求AD•OC的值．

正确答案

解：（1）如图，连接BD、OD．

∵CB、CD是⊙O的两条切线，

∴BD⊥OC，

∴∠2+∠3=90°

又AB为⊙O直径，

∴AD⊥DB，

∠1+∠2=90°，

∴∠1=∠3，

∴AD∥OC；

（2）AO=OD，

则∠1=∠A=∠3，

∴Rt△BAD∽Rt△ODC，

AD•OC=AB•OD=2．

解析

解：（1）如图，连接BD、OD．

∵CB、CD是⊙O的两条切线，

∴BD⊥OC，

∴∠2+∠3=90°

又AB为⊙O直径，

∴AD⊥DB，

∠1+∠2=90°，

∴∠1=∠3，

∴AD∥OC；

（2）AO=OD，

则∠1=∠A=∠3，

∴Rt△BAD∽Rt△ODC，

AD•OC=AB•OD=2．

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