圆内接四边形的性质与判定定理
共255题

圆内接四边形的性质与判定定理
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题型：简答题

简答题

设相交两圆的交点为M和K，引两圆的公切线，切点分别是A、B，证明：∠AMB+∠AKB=180°．

正确答案

证明：连接MK并延长交AB于C点，

则△ACM∽△ACK，∴∠MAC=∠AKC，

同理∠MBC=∠BKC，

∵∠MAB+∠ABM+∠AMB=180°，

∴∠AKC+∠BKC+∠AMB=180°，

∵∠AKC+∠BKC=∠AKB，

∴∠AMB+∠AKB=180°．

解析

证明：连接MK并延长交AB于C点，

则△ACM∽△ACK，∴∠MAC=∠AKC，

同理∠MBC=∠BKC，

∵∠MAB+∠ABM+∠AMB=180°，

∴∠AKC+∠BKC+∠AMB=180°，

∵∠AKC+∠BKC=∠AKB，

∴∠AMB+∠AKB=180°．

题型：填空题

填空题

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）已知PA=，BC=1，求⊙O的半径．

正确答案

解析

证明：（1）连接OB，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵PA=PB，

∴∠PAB=∠PBA，

∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，

∴∠PAO=∠PBO．（2分）

又∵PA是⊙O的切线，

∴∠PAO=90°，

∴∠PBO=90°，

∴OB⊥PB．（4分）

又∵OB是⊙O半径，

∴PB是⊙O的切线，（5分）

（2）解：连接OP，交AB于点D，

∵PA=PB，

∴点P在线段AB的垂直平分线上．

∵OA=OB，

∴点O在线段AB的垂直平分线上，

∴OP垂直平分线段AB，（7分）

∴∠PAO=∠PDA=90°．

又∵∠APO=∠DPA，

∴△APO∽△DPA，

∴，

∴AP2=PO•DP．

又∵OD=BC=，

∴PO（PO-OD）=AP2，

即：PO2-PO=，

解得PO=2，（9分）

在Rt△APO中，，即⊙O的半径为1．（10分）

题型：简答题

简答题

已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．

（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；

（Ⅱ）求BC的长．

正确答案

（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，（2分）

因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，

又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，

所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（4分）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，（6分）

连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，（8分）

所以，所以BC=2．（10分）

解析

（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，（2分）

因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，

又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，

所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（4分）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，（6分）

连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，（8分）

所以，所以BC=2．（10分）

题型：填空题

填空题

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．

（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；

（2）若AB=2，AE=6，求EC的长．

正确答案

解析

解（1）取BD的中点O，连接OE．

∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，

∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．…3分

∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线．

（2）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，OA2=OE2+AE2，即（r+2）2=r2+62，

解得r=2，∴OA=2OE，∴∠A=30°，∠AOE=60°．

∴∠CBE=∠OBE=30°．

∴EC=BE==3．

题型：填空题

填空题

如图，AP⊙O切于点A，交弦DB的延长线于点P，过点B作圆O的切线交AP于点C．若∠ACB=90°，BC=3，CP=4，则弦DB的长为______．

正确答案

解析

解：∵BC⊥AP，∴BP2=BC2+CP2=32+42=25，∴BP=5．

又AC与BC都是⊙O的切线，∴AC=BC=3，

由切割线定理可得PA2=PB•PD，∴72=5×（5+DB），解得．

∴弦DB的长为．

故答案为．

题型：简答题

简答题

如图，点A在直径为15的⊙O上，PBC是过点O的割线，且PA=10，PB=5．

（Ⅰ）求证：PA与⊙O相切；

（Ⅱ）求S△ACB的值．

正确答案

（Ⅰ）证明：连结OA，

∵⊙O的直径为15，∴OA=OB=7.5

又PA=10，PB=5，∴PO=12.5…（2分）

在△APO中，PO2=156.25，PA2+OA2=156.25

即PO2=PA2+OA2，∴PA⊥OA，

又点A在⊙O上

故PA与⊙O相切…（5分）

（Ⅱ）解：∵PA为⊙O的切线，∴∠ACB=∠PAB，

又由∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，∴…（7分）

设AB=k，AC=2k，∵BC为⊙O的直径且BC=15，AB⊥AC

∴，

∴

∴…（10分）

解析

（Ⅰ）证明：连结OA，

∵⊙O的直径为15，∴OA=OB=7.5

又PA=10，PB=5，∴PO=12.5…（2分）

在△APO中，PO2=156.25，PA2+OA2=156.25

即PO2=PA2+OA2，∴PA⊥OA，

又点A在⊙O上

故PA与⊙O相切…（5分）

（Ⅱ）解：∵PA为⊙O的切线，∴∠ACB=∠PAB，

又由∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，∴…（7分）

设AB=k，AC=2k，∵BC为⊙O的直径且BC=15，AB⊥AC

∴，

∴

∴…（10分）

题型：简答题

简答题

（2015•兴安盟一模）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．

（1）求证：直线AB是⊙O的切线；

（2）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．

正确答案

解：（1）如图，连接OC，

∵OA=OB，CA=CB，

∴OC⊥AB．

∴AB是⊙O的切线；

（2）∵BC是圆O切线，且BE是圆O割线，

∴BC2=BD•BE，

∵tan∠CED=，∴．

∵△BCD∽△BEC，∴，

设BD=x，BC=2x．又BC2=BD•BE，∴（2x）2=x•（x+6），

解得x1=0，x2=2，∵BD=x＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．（10分）．

解析

解：（1）如图，连接OC，

∵OA=OB，CA=CB，

∴OC⊥AB．

∴AB是⊙O的切线；

（2）∵BC是圆O切线，且BE是圆O割线，

∴BC2=BD•BE，

∵tan∠CED=，∴．

∵△BCD∽△BEC，∴，

设BD=x，BC=2x．又BC2=BD•BE，∴（2x）2=x•（x+6），

解得x1=0，x2=2，∵BD=x＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．（10分）．

题型：简答题

简答题

如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，D为AO上一点，BD的延长线交⊙O于点E，过E点的圆的切线交CA的延长线于P．求证：PD2=PA•PC．

正确答案

证明：连接OE，∵PE切⊙O于点E，∴∠OEP=90°，∴∠OEB+∠BEP=90°，

∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，

∵OB⊥AC于点O，∴∠OBE+∠BDO=90°．

故∠BEP=∠BDO=∠PDE，PD=PE，

又∵PE切⊙O于点E，∴PE2=PA•PC，

PD2=PA•PC．

解析

证明：连接OE，∵PE切⊙O于点E，∴∠OEP=90°，∴∠OEB+∠BEP=90°，

∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，

∵OB⊥AC于点O，∴∠OBE+∠BDO=90°．

故∠BEP=∠BDO=∠PDE，PD=PE，

又∵PE切⊙O于点E，∴PE2=PA•PC，

PD2=PA•PC．

题型：填空题

填空题

如图，⊙O的半径R=5，P是弦BC延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为A，若PC=1，PA=3，则圆心O到弦BC的距离是______．

正确答案

解析

解：由切割线定理得PA2=PC•PB，

从而PB=9，BC=8

则圆心O到弦BC的距离是

故答案为：3

题型：填空题

填空题

如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AD=4，AC=8，圆心O到直线AC的距离为，则圆O的面积为______．

正确答案

9π

解析

解：∵AD为圆O的切线，ABC为圆O的割线

由切割线定理得：

AD2=AB•AC

即8AB=（4）2，

∴AB=4，BC=AC-AB=4，

设圆O的半径为r，

由于圆心O到AC的距离为，BC=4，

故r2=（）2+22=9，即r=3，

则圆的面积为9π．

故答案为：9π．

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