- 直线与平面所成的角
- 共1178题
A、B、C是表面积为64π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O为球心，则直线OA与截面ABC所成角是（ ）
正确答案
解析
解：由题意截面ABC所在小圆，BC为直径，A、B、C是表面积为64π的球的半径为：4πr2=64π，半径为4，即OA=4，BC 的中点与球心连线与截面ABC垂直，所以直线OA与截面ABC所成角的余弦为：
故选C
正确答案
解：（理）法1：设AK与平面SBC所成角为θ．
因为
所以
所以
所以
因为
所以
因此
则
解法2：AC∩BD=O，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间坐标系．则
所以
设θ为AK与平面SBC所成的角，
因为
所以：
所以
解析
解：（理）法1：设AK与平面SBC所成角为θ．
因为
所以
所以
所以
因为
所以
因此
则
解法2：AC∩BD=O，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间坐标系．则
所以
设θ为AK与平面SBC所成的角，
因为
所以：
所以
Rt△ABC的斜边AB在平面a内，且平面ABC和平面a所成二面角为60°，若直角边AC和平面a成角45°，则BC和平面a所成角为______．
正确答案
30°
解析
解：过点C做CD垂直平面a，CE垂直AB，连接AD，BD，CE，DE
设CD=h，如图所示：
∵平面ABC和平面a所成二面角为60°，若直角边AC和平面a成角45°，
易得∠CED=60°，∠CAD=45°
则AC=
设BC=a，则∵BC•AC=AB•CE得：
BC=2h
故sin∠CBD=
故∠CBD=30°
故答案为：30°
（I）证明：PC⊥BD；
（II）求PB与平面PAC所成的角的正弦值．
正确答案
（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PC在底面上的射影为AC
∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC
∴BD⊥PC；
（II）解：设正方形的中心为O．
∵BO⊥AC，BO⊥PA，AC∩PA=A
∴BO⊥面PAC，∴∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角．
设AB=1，则PA=2，
∴
即所求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为
解析
（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PC在底面上的射影为AC
∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC
∴BD⊥PC；
（II）解：设正方形的中心为O．
∵BO⊥AC，BO⊥PA，AC∩PA=A
∴BO⊥面PAC，∴∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角．
设AB=1，则PA=2，
∴
即所求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1B和平面A1B1CD所成角的余弦值大小为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
因为A1B1⊥平面BCC1B1．
所以A1B1⊥BC1．
又因为BC1⊥B1C，BC1∩B1C=O
所以BC1⊥平面A1B1CD
所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，
所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．
设正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为1，
所以在△A1BO中，A1B=
所以sin∠BA1O=
所以cos∠BA1O=
故选：D．
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