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题型:填空题
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填空题

一个无盖的圆柱形容器的底面半径为,母线长为6,现将该容器盛满水,然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出,当容器中的水是原来的时,则圆柱的母线与水平面所成的角的大小为______

正确答案

60°

解析

解:容器中水的体积为V=π•r2•h=18π

由容器中的水是原来的,则流出水的体积为3π,

则l′==2

设圆柱的母线与水平面所成的角为α

则tanα==

故答案为:60°

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题型:填空题
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填空题

已知PA、PB、PC是从P点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为60°,则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是______

正确答案

解析

解:在PC上任取一点D并作DO⊥平面APB,则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角.         

过点O作OE⊥PA,OF⊥PB,因为DO⊥平面APB,则DE⊥PA,DF⊥PB.

△DEP≌△DFP,∴EP=FP,∴△OEP≌△OFP,

因为∠APC=∠BPC=60°,所以点O在∠APB的平分线上,即∠OPE=30°.

设PE=1,∵∠OPE=30°∴OP==

在直角△PED中,∠DPE=60°,PE=1,则PD=2.

在直角△DOP中,OP=,PD=2.则cos∠DPO==

即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是

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题型: 单选题
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单选题

已知正方体ABCD-A1B1C1D1,过顶点A1作平面α,使得直线AC和BC1与平面α所成的角都为30°,这样的平面α可以有(  )

A4个

B3个

C2个

D1个

正确答案

C

解析

解:因为AD1∥BC1,所以过A1在空间作平面,使平面与直线AC和BC1所成的角都等于30°,即过点A在空间作平面,使平面与直线AC和AD1所成的角都等于30°.

因为∠CAD1=60°,所以∠CAD1的外角平分线与AC和AD1所成的角相等,均为60°,所以在平面CAD1内有一条满足要求;

因为∠CAD1的角平分线与AC和AD1所成的角相等,均为30°,

过角平分线与平面ACD1垂直的平面,满足要求;

故符合条件的平面有2个.

故选:C.

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题型:简答题
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简答题

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AB⊥BB1,AC=BC=BB1=2,D为AB的中点,且CD⊥DA1

(Ⅰ)求证:BC1∥平面CA1D;

(Ⅱ)求直线A1B1与平面A1DC的所成角的正弦值.

正确答案

(Ⅰ)证明:连接BC1,连接AC1交A1C于E,连接DE,则E是AC1中点,

∵D是AB中点,∴DE∥BC1

又∵DE⊂面CA1D,BC1⊄面CA1D,

∴BC1∥面CA1D;

(Ⅱ)设点B1到平面A1DC的距离为h,则

∵AC=BC,D为AB的中点,

∴CD⊥AB,

∵三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AB⊥BB1,D为棱AB的中点,AC=BC=BB1=2,

∴A1D=,CD=,A1C=2

∴由勾股定理可得CD⊥A1D,

∵AB∩A1D=D,

∴CD⊥平面A1B,

可得

∴h=

∴直线A1B1与平面A1DC的所成角的正弦值为=

解析

(Ⅰ)证明:连接BC1,连接AC1交A1C于E,连接DE,则E是AC1中点,

∵D是AB中点,∴DE∥BC1

又∵DE⊂面CA1D,BC1⊄面CA1D,

∴BC1∥面CA1D;

(Ⅱ)设点B1到平面A1DC的距离为h,则

∵AC=BC,D为AB的中点,

∴CD⊥AB,

∵三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AB⊥BB1,D为棱AB的中点,AC=BC=BB1=2,

∴A1D=,CD=,A1C=2

∴由勾股定理可得CD⊥A1D,

∵AB∩A1D=D,

∴CD⊥平面A1B,

可得

∴h=

∴直线A1B1与平面A1DC的所成角的正弦值为=

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题型:简答题
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简答题

如图,三棱锥P-ABC中,E,D分别是BC,AC的中点,PB=PC=AB=4,AC=8.BC=4,PA=2

(1)求证:BC⊥平面PED

(2)求直线AC与平面PBC所成角的正弦值.

正确答案

解:(1)证明:

∴AB2+BC2=AC2

∴BC⊥AB;

D,E分别是BC,AC中点;

∴DE∥AB;

∴BC⊥DE;

又PB=PC,D是BC中点;

∴BC⊥PD,DE∩PD=D;

∴BC⊥平面PED;

(2)PA=,PC=4,AC=8;

∴由余弦定理cos∠PCA=

在△PCE中,PC=4,CE=4;

∴由余弦定理得PE=2,DE=2,并可求得PD=2;

∴△PDE为等边三角形;

∴如图,取PD中点F,连接EF,CF,则:EF⊥PD;

又BC⊥平面PED,EF⊂平面PED;

∴BC⊥EF,即EF⊥BC,PD∩BC=D;

∴EF⊥平面PBC;

∴∠ECF是直线AC和平面PBC所成角;

容易求出EF=,CE=4;

即直线AC与平面PBC所成角的正弦值为

解析

解:(1)证明:

∴AB2+BC2=AC2

∴BC⊥AB;

D,E分别是BC,AC中点;

∴DE∥AB;

∴BC⊥DE;

又PB=PC,D是BC中点;

∴BC⊥PD,DE∩PD=D;

∴BC⊥平面PED;

(2)PA=,PC=4,AC=8;

∴由余弦定理cos∠PCA=

在△PCE中,PC=4,CE=4;

∴由余弦定理得PE=2,DE=2,并可求得PD=2;

∴△PDE为等边三角形;

∴如图,取PD中点F,连接EF,CF,则:EF⊥PD;

又BC⊥平面PED,EF⊂平面PED;

∴BC⊥EF,即EF⊥BC,PD∩BC=D;

∴EF⊥平面PBC;

∴∠ECF是直线AC和平面PBC所成角;

容易求出EF=,CE=4;

即直线AC与平面PBC所成角的正弦值为

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