热门试卷

（I）证明：∵EF∥平面ABCD，且EF⊂平面EFAB，

又∵平面ABCD∩平面EFAB=AB，

∴EF∥AB，

又M，N是平行四形ABCD两边AD，BC的中点，

∴MN∥AB，

∴EF∥MN，

∴E，F，M，N四点共面．

∵FB=FC，

∴BC⊥FN，

又∵BC⊥AB，

∴BC⊥MN，

∵FN∩MN=N，

∴BC⊥平面EFNM，

∵BC⊂平面ABCD，

∴平面EFNM⊥平面ABCD；

（Ⅱ）解：在平面EFNM内F做MN的垂线，垂足为H，则由第（I）问可知：BC⊥平面EFNM，则平面ABCD⊥平面EFNM，∴FH⊥平面ABCD，

又∵FN⊥BC，HN⊥BC，∴二面角F-BC-A的平面角为∠FNH．

在Rt△FNB和Rt△FNH中，FN=，HNHN=FNcos∠FNH=2，∴FH=8，

过H做边AB，CD的垂线，垂足为S，Q，

以H为坐标原点，以HS，HN，HF方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，

则F（0，0，8），S（2，0，0），C（-2，2，0），D（-2，-4，0），

则=（2，2，-8），=（-2，2，-8），=（0，-6，0）

设平面EFCD的一个法向量为=（x，y，z），

则，取z=1，得=（-4，0，1），

设直线BF与平面EFCD所成角为θ，则sinθ==．

解：连接AC，由A′A⊥平面ABCD知，

∠A′CA为A′C与平面ABCD所成的角． 

由于AD=1，AB=，所以在Rt△A′AC中，

．

又A′A=1，则． 

所以∠A‘CA=30∘． 

则直线A′C与平面ABCD所成角的大小为30°．

证明：方法一：（Ⅰ）因为CC1∥AA1且正方形中AA1⊥A1B1，所以CC1⊥A1B1，

取A1B1中点E，则HE∥BB1∥CC1且，又D为CC1的中点，

所以，得平行四边形HEDC，

因此CH∥DE，又CH⊥平面AA1B1B，

得CH⊥HE，DE⊥HE，所以DE⊥CC1∴CC1⊥平面A1B1D（6分）

解：（Ⅱ）取AA1中点F，连CF，作HK⊥CF于K

因为CH∥DE，CF∥A1D，所以平面CFH∥平面A1B1D，由（Ⅰ）得CC1⊥平面A1B1D，

所以CC1⊥平面CFH，又HK⊂平面CFH，所以HK⊥CC1，又HK⊥CF，得HK⊥平面AA1C1C，所以DH与平面AA1C1C所成角为∠HDK（10分）

在Rt△CFH中，，

在Rt△DHK中，由于DH=2，（14分）

方法二：（向量法）

证明：（Ⅰ）如图，以H为原点，建立空间直角坐标系，

则C（0，0，），C1（），A1（），B1（0，，0），

所以，，

∴，，

因此CC1⊥平面A1B1D；（6分）

解：（Ⅱ）设平面AA1C1C的法向量，由于

则，

得，所以（10分）

又，所以（14分）