- 直线与平面所成的角
- 共1178题
（理）已知圆柱的体积是
正确答案
解析
解：∵V圆柱=πr2h=πh=
过A向底面作垂线，垂足必落在底面圆周上，设为
在Rt△AOB中，tan∠AOB=
∴∠AOB=
故答案为
已知正三棱柱ABC-A1B1C1体积为
A
B
C
D
正确答案
解析
根据条件，∴
∴可求以下几点坐标：
P（
∴
BB1⊥平面ABC，OC⊂平面ABC；
∴OC⊥BB1；
又OC⊥BO，BO∩BB1=B；
∴OC⊥平面BB1P；
∴
∴cosθ=
∴
∴PA1与平面BB1P所成角的正切大小为
故选：C．
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设B1在下底面上的射影为D，
连接BD，过点D作DE垂直BC，交与点E
∴∠B1BD是侧棱BB1与底面所成的角为30°
设B1B=2，则B1D=1，BD=
∵∠B1BC=60°∴BE=1，B1E=
在△BDE中，cos∠DBE=
∵BD∥AC∴∠DBE=∠ACB，
故选A．
（1）若P为DF中点，求证：BF∥平面ACP；
（2）若二面角P-AC-F的正弦值为
正确答案
PO为△BDF的中位线；
∴PO∥BF，即BF∥PO；
PO⊂平面ACP，BF⊄平面ACP；
∴BF∥平面ACP；
（2）∵∠ACD=90°；
∴AC⊥AB；
∵平面ABEF⊥平面ABCD，交线为AB，AF⊥AB；
∴AF⊥平面ABCD；
∴AB，AC，AF三条直线两两垂直；
∴分别以AB，AC，AF所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：
A（0，0，0），C（0，
设P（x，y，z），设
∴
∴
过P作PG∥AF，交AD于G，则PG⊥平面ABCD，作GH∥AB，交AC于H，连接PH，则：
GH⊥AC，PH⊥AC；
又AF⊥平面ABCD，AF⊥AC；
∴向量
并且H的坐标为（0，
∴
∵二面角P-AC-F的正弦值为
∴二面角P-AC-F的余弦值为
∴
解得
∴
∴
sinθ=
∴AP与平面ABCD所成角的大小为
解析
PO为△BDF的中位线；
∴PO∥BF，即BF∥PO；
PO⊂平面ACP，BF⊄平面ACP；
∴BF∥平面ACP；
（2）∵∠ACD=90°；
∴AC⊥AB；
∵平面ABEF⊥平面ABCD，交线为AB，AF⊥AB；
∴AF⊥平面ABCD；
∴AB，AC，AF三条直线两两垂直；
∴分别以AB，AC，AF所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：
A（0，0，0），C（0，
设P（x，y，z），设
∴
∴
过P作PG∥AF，交AD于G，则PG⊥平面ABCD，作GH∥AB，交AC于H，连接PH，则：
GH⊥AC，PH⊥AC；
又AF⊥平面ABCD，AF⊥AC；
∴向量
并且H的坐标为（0，
∴
∵二面角P-AC-F的正弦值为
∴二面角P-AC-F的余弦值为
∴
解得
∴
∴
sinθ=
∴AP与平面ABCD所成角的大小为
（1）证明：BC1⊥面A1B1CD；
（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．
正确答案
在正方体ABCD-A1B1C1D1中
因为A1B1⊥平面BCC1B1．
所以A1B1⊥BC1．
又∵BC1⊥B1C，又BC1∩B1C=O
∴BC1⊥平面A1B1CD
（2）因为BC1⊥平面A1B1CD，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．设正方体的棱长为a
在RT△A1BO中，A1B=
即直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°．
解析
在正方体ABCD-A1B1C1D1中
因为A1B1⊥平面BCC1B1．
所以A1B1⊥BC1．
又∵BC1⊥B1C，又BC1∩B1C=O
∴BC1⊥平面A1B1CD
（2）因为BC1⊥平面A1B1CD，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．设正方体的棱长为a
在RT△A1BO中，A1B=
即直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°．
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