热门试卷

解：（1）以A为原点，建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，0，a），E（，，），

=（，，），=（a，0，0），=（0，a，-a），

设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，

取=（0，1，1），则直线AE与平面PCD所成角的正弦值为=；

（2）G（，a，0），设P（0，0，c）（c＞0），则=（-a，-a，c），

设=λ，则E（（1-λ）a，（1-λ）a，λc），

∴=（-λa，（1-λ）a，λc），

∵BE=a，

∴（-λa）2+[（1-λ）a]2+（λc）2=①

∵BE⊥PC，

∴λa2-（1-λ）a2+λc2=0，

∴c2=a2，②

由①②解得λ=，c=a，

∴E（a，a，a），P（0，0，a）

若存在满足条件的点F，可设AF=l（0≤l≤a），则F（l，0，0），=（l-a，-a，-a），

设平面PAG的法向量为=（s，t，p），则，

∴=（（-2，1，0），

∵EF∥平面PAG，∴•=0，

∴-2l+a-a=0，

∴l=a，

∴存在满足条件的点F，AF=a．

（Ⅰ）证明：连接AC，设AC∩BD=O，连接EO，

∵四边形ABCD为矩形，∴O为AC的中点．

∴OE为△PAC的中位线．

∴PA∥OE，而OE⊂平面EDB，PA⊄平面EBD，

∴PA∥平面EDB．

（Ⅱ）解：取DC中点F，连接BF，则EF∥PD

∵PD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，

∴∠EBF为直线BE与平面ABCD所成角

∵四边形ABCD为矩形，PD=DC=2，BC=，F为DC中点

∴EF=1，BF=

∴tan∠EBF==

∴∠EBF=

∴直线BE与平面ABCD所成角为

（1）证明：取DC的中点E，连接EM、EN，

∵M，N分别是PC、AB的中点，∴ME∥PD，NE∥AD，

∵ME∩NE=E，PD∩AD=D

∴平面MNE∥平面PAD

∵MN⊂平面MNE，

∴MN∥平面PAD；

（2）解：取AD的中点F，连接PF，BF

∵△PAD为正三角形，∴PF⊥AD

∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，

∴PF⊥底面ABCD，

∴∠PBF是直线PB与平面ABCD所成的角

设AD=2，则PF=，BF=

在直角△PFB中，tan∠PBF==．