热门试卷

（1）证明：以A为坐标原点AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则E（0，0，），B（2，0，0）D（0，2，0），

取BD的中点F并连接CF，AF；由题意可得CF⊥BD且AF=CF=，

又∵平面BDA⊥平面BDC，∴CF⊥平面BDA，

∴C的坐标为C（1，1，）

∴=（-2，2，0），=（-1，-1，0）

∴•=2-2+0=0，

∴⊥，∴BD⊥CE；

（2）解：设平面BDE的法向量为=（x，y，z），则

∵=（-2，2，0），=（0，-2，）   

∴

∴=（1，1，）    

又=（0，0，），

设平面DE与平面BCE所成角为θ，则

sinθ=|cos＜，＞|==

∴AE与平面BDE所成角为45°；

（3）解：假设存在点M使得CM∥面ADE，则=λ

∵=（2，0，-），∴=（2λ，0，-λ）  

得M（2λ，0，-λ）     　

又∵AE⊥平面ABD，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADE

∵CM∥面ADE，∴=0

得2λ-1=0，∴λ=

故点M为BE的中点时CM∥面ADE．

（Ⅰ）证明：连接BD，则

∵DE∥BF，

∴D、E、B、F共面

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∵BF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥BF，

∵BD∩BF=B，

∴AC⊥平面DEFB，

∵EF⊂平面DEFB，

∴AC⊥EF；

（2）解：建立如图所示的坐标系，则A（1，0，0），C（0，1，0），E（1，1，1），

设G（2-x，2-x，x），平面ACE的法向量为=（x，y，z），则

∵=（-1，1，0），=（1，0，1），

∴，

∴=（1，1，-1），

∵=（2-x，2-x，x），

∴2-x+2-x-x=0，

∴x=，

∴G（，，），

∴=（-，，），

∴直线AG与平面ACE所成角θ的正弦值为||=．