- 直线与平面所成的角
- 共1178题
将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠,使得平面ABD⊥平面CBD,AE⊥平面ABD,且AE=
.
(1)证明:BD⊥CE;
(2)求AE与平面BDE所成角的大小;
(3)直线BE上是否存在一点M,使得CM∥平面ADE,若存在,求点M的位置,若不存在,请说明理由.
正确答案
(1)证明:以A为坐标原点AB,AD,AE所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则E(0,0,
),B(2,0,0)D(0,2,0),
取BD的中点F并连接CF,AF;由题意可得CF⊥BD且AF=CF=,
又∵平面BDA⊥平面BDC,∴CF⊥平面BDA,
∴C的坐标为C(1,1,)
∴=(-2,2,0),
=(-1,-1,0)
∴•
=2-2+0=0,
∴⊥
,∴BD⊥CE;
(2)解:设平面BDE的法向量为=(x,y,z),则
∵=(-2,2,0),
=(0,-2,
)
∴
∴=(1,1,
)
又=(0,0,
),
设平面DE与平面BCE所成角为θ,则
sinθ=|cos<,
>|=
=
∴AE与平面BDE所成角为45°;
(3)解:假设存在点M使得CM∥面ADE,则=λ
∵=(2,0,-
),∴
=(2λ,0,-
λ)
得M(2λ,0,-
λ)
又∵AE⊥平面ABD,AB⊥AD,∴AB⊥平面ADE
∵CM∥面ADE,∴=0
得2λ-1=0,∴λ=
故点M为BE的中点时CM∥面ADE.
解析
(1)证明:以A为坐标原点AB,AD,AE所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则E(0,0,
),B(2,0,0)D(0,2,0),
取BD的中点F并连接CF,AF;由题意可得CF⊥BD且AF=CF=,
又∵平面BDA⊥平面BDC,∴CF⊥平面BDA,
∴C的坐标为C(1,1,)
∴=(-2,2,0),
=(-1,-1,0)
∴•
=2-2+0=0,
∴⊥
,∴BD⊥CE;
(2)解:设平面BDE的法向量为=(x,y,z),则
∵=(-2,2,0),
=(0,-2,
)
∴
∴=(1,1,
)
又=(0,0,
),
设平面DE与平面BCE所成角为θ,则
sinθ=|cos<,
>|=
=
∴AE与平面BDE所成角为45°;
(3)解:假设存在点M使得CM∥面ADE,则=λ
∵=(2,0,-
),∴
=(2λ,0,-
λ)
得M(2λ,0,-
λ)
又∵AE⊥平面ABD,AB⊥AD,∴AB⊥平面ADE
∵CM∥面ADE,∴=0
得2λ-1=0,∴λ=
故点M为BE的中点时CM∥面ADE.
如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为1的正方形,BF⊥平面ABCD,DE∥BF.
(Ⅰ)求证:AC⊥EF;
(Ⅱ)若BF=2,DE=1,在EF上取点G,使BG∥平面ACE,求直线AG与平面ACE所成角θ的正弦值.
正确答案
(Ⅰ)证明:连接BD,则
∵DE∥BF,
∴D、E、B、F共面
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,
∵BF⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴AC⊥BF,
∵BD∩BF=B,
∴AC⊥平面DEFB,
∵EF⊂平面DEFB,
∴AC⊥EF;
(2)解:建立如图所示的坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,1,1),
设G(2-x,2-x,x),平面ACE的法向量为=(x,y,z),则
∵=(-1,1,0),
=(1,0,1),
∴,
∴=(1,1,-1),
∵=(2-x,2-x,x),
∴2-x+2-x-x=0,
∴x=,
∴G(,
,
),
∴=(-
,
,
),
∴直线AG与平面ACE所成角θ的正弦值为||=
.
解析
(Ⅰ)证明:连接BD,则
∵DE∥BF,
∴D、E、B、F共面
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,
∵BF⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴AC⊥BF,
∵BD∩BF=B,
∴AC⊥平面DEFB,
∵EF⊂平面DEFB,
∴AC⊥EF;
(2)解:建立如图所示的坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,1,1),
设G(2-x,2-x,x),平面ACE的法向量为=(x,y,z),则
∵=(-1,1,0),
=(1,0,1),
∴,
∴=(1,1,-1),
∵=(2-x,2-x,x),
∴2-x+2-x-x=0,
∴x=,
∴G(,
,
),
∴=(-
,
,
),
∴直线AG与平面ACE所成角θ的正弦值为||=
.
在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰三角形,点A1在平面ABC上的射影为AC的中点D,AC=2,BB1=3,则AB1与底面ABC所成角的正切值为______.
正确答案
解析
解:如图,过D作DE∥AB,且DE=AB则B1E∥A1D;
∴B1E⊥平面ABC,则∠B1AE是AB1与底面ABC所成角;
根据条件知,在Rt△A1AD中,AD=1,AA1=3,∴A1D=∴
;
在Rt△ABC中,AC=2,∴AB=,∴DE=
;
∴在△ADE中,AD=1,DE=,
;
∴根据余弦定理得:,∴AE=
;
∴tan.
故答案是:.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=,B1B=BC=1,则线BC1与面BDD1B1所成角的正弦为( )
正确答案
解析
解:∵长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=,B1B=BC=1,
过C1作C1O⊥D1B1,如图
∵平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1
∴C1O⊥平面BDD1B1,
∴∠C1BO为BC1与平面BDD1B1所成角,
∴C1O=,BC1=
,
∴sin∠C1BO=;
故选B.
如图,在棱长均相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点.
(1)求证:A1B∥平面AC1D;
(2)求C1C与平面AC1D所成角的余弦值.
正确答案
(1)证明:连接A1C,交AC1于O,连接OD,
由于OD是△A1BC的中位线,则OD∥A1B,
又OD⊂平面面AC1D,A1B⊄平面AC1D,
则有A1B∥平面AC1D;
(2)解:过C作CM⊥平面AC1D,垂足为M,连接MC1,
则∠MC1C即为求C1C与平面AC1D所成角.
设正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2a,CM=d,
则C1D==
a,AD=
,
AC1=2a,由AC12=C1D2+AD2,即有AD⊥C1D,
△ADC1的面积为=
a2,
由=
,可得,
d•
=
•2a•
即有d
a2=
a3,解得,d=
a.
则cos∠MC1C==
=
.
即有C1C与平面AC1D所成角的余弦值.
解析
(1)证明:连接A1C,交AC1于O,连接OD,
由于OD是△A1BC的中位线,则OD∥A1B,
又OD⊂平面面AC1D,A1B⊄平面AC1D,
则有A1B∥平面AC1D;
(2)解:过C作CM⊥平面AC1D,垂足为M,连接MC1,
则∠MC1C即为求C1C与平面AC1D所成角.
设正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2a,CM=d,
则C1D==
a,AD=
,
AC1=2a,由AC12=C1D2+AD2,即有AD⊥C1D,
△ADC1的面积为=
a2,
由=
,可得,
d•
=
•2a•
即有d
a2=
a3,解得,d=
a.
则cos∠MC1C==
=
.
即有C1C与平面AC1D所成角的余弦值.
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