热门试卷

（I）证明：因为四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，所以△ACD为正三角形，所以AC=AD，又因为点N为CD中点，所以CD⊥AN．

∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．PA∩AN=A，∴CD⊥平面PAN．

（II）由（Ⅰ）知，CD⊥平面PAN，CD⊂平面PCD，∴平面PAN⊥平面PCD，且平面PAN∩平面PCD=PN，

过A作AH⊥PN于H，则AH⊥平面PCD，连接MH，则∠AMH为直线AM与平面PCD所成角．

在RT△PAN中，PA=，AN=，由勾股定理得出PN=，根据面积相等法得AH==．

在RT△PAC中，AM=PC==1，

在RT△AMH中，sin∠AMH===．即直线AM与平面PCD所成角的正弦值是．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，

∴平面AEC⊥平面PDB；

（2）解：连接AC，BD，交于O，连接OE，则

∵PD⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，

∴PD⊥AC，

∵四棱锥P-ABCD的底面是正方形，

∴AC⊥BD

∵PD∩BD=D

∴AC⊥平面PDB

∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，

设AB=a，则PD=a，∴OE=a

∵AO=a，∴AE=a，

∴sin∠AEO==，

∴∠AEO=45°

解：（Ⅰ）证明：如图，取PA的中点F，连结FE、FB，

则FE∥BC，且FE=AD=BC，

∴BCEF是平行四边形，

∴CE∥BF，而BF⊂平面PAB，∴CE∥平面PAB；

（Ⅱ）取AD的中点G，连接EG，则EG∥AP，

问题转化为求EG与平面ACE所成的角的正弦．

连接BG交AC于O，连接OE，

由AC⊥EG，AC⊥BG，可得AC⊥平面OEG，即有：

平面ACE⊥平面OEG，交于直线OE，

过G作GH⊥OE，交OE于H，

可得∠GEH为EG与平面ACE所成的角，即∠GEO，

由EG=1，GO=，可得EO=，

可得sin∠GEO==，

则PA与平面ACE所成角的正弦值为．

（Ⅰ）解：如图，∵AD∥BC∴异面直线PC与AD所成的角即是直线PC与BC所成的角，

所以∠PCB即是异面直线PC与AD所成的角； 

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AB，PA⊥AD，即AD⊥PA，又∠BAD=90°，∴AD⊥AB；

∴AD⊥平面PAB，∴BC⊥平面PAB；

∴△PBC是直角三角形；

∴根据条件，PB=，tan∠PCB=；

∴异面直线PC与AD所成的角是arctan．

（Ⅱ）证明：连接AC，∵PA⊥平面ABCD；

∴PA⊥DC，即DC⊥PA；

过C作CC′⊥AD，交AD于C′，则CC′=1，C′D=1，∴CD=；

又AC=，∴AC2+CD2=2+2=AD2

∴DC⊥AC；

∵AC∩PA=A；

∴DC⊥平面PAC；

又DC⊂平面PDC；

所以平面PAC⊥平面PDC．

（Ⅲ）取PC中点E′，则EE′∥DC，

由（Ⅱ）知DC⊥平面PAC

则EF⊥平面PAC

所以∠ECE′为直线EC与平面PAC所成的角

CE′=，EF=；

∴EC=，∴cos；

即直线EC与平面PAC所成角的余弦值是．