直线与平面所成的角
共1178题

· 直线与平面所成的角

直线与平面所成的角
共1178题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：简答题

简答题

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，PA垂直于⊙O所在的平面．

（1）求证：平面PAC⊥平面PBC．

（2）设PA=，试问C运动到何处时，AC与平面PBC所成的角为？（只需求出符合条件时AC的长）

正确答案

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，

又∵PA⊥BC，

∴PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC，

又BC⊂平面PCB，

∴平面PAC⊥平面PBC．

（2）解：过A作AH⊥PC于H，

∵平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，

∴AH⊥平面PBC，

∴∠ACH为AC与平面PBC所成的角，

Rt△PAC中，tan∠ACH==，

∴AC=1．

解析

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，

又∵PA⊥BC，

∴PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC，

又BC⊂平面PCB，

∴平面PAC⊥平面PBC．

（2）解：过A作AH⊥PC于H，

∵平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，

∴AH⊥平面PBC，

∴∠ACH为AC与平面PBC所成的角，

Rt△PAC中，tan∠ACH==，

∴AC=1．

题型：填空题

填空题

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是C1D1，CC1的中点，则直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为______．

正确答案

解析

解：建立如图所示的坐标系，则B1（2，2，2），N（0，2，1），B（2，2，0），D（0，0，0），M（0，1，2）．

设平面BDM的法向量为=（x，y，z），则

∵=（2，2，0），=（0，1，2），

∴，

∴=（2，-2，1），

∵=（-2，0，-1），

∴直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为||=．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB，M是PB的中点

（Ⅰ）求直线AC与直线PB所成的角的余弦值；

（Ⅱ）求直线AB与面ACM所成角的正弦值．

正确答案

解：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，）．

（1）因=（1，1，0），=（0，2，-1）

||=，|=，|

所以cos＜，＞==．

所以，AC与PB所成的角余弦值为．

（2）∵M（0，1，），=（0，1，），=（1，1，0），=（0，2，0），

∴面ACM的法向量为=（x，y，z），

，，=（1，-1，2），

∴cos＜，＞==，

∴直线AB与面ACM所成角的正弦值．

解析

（1）因=（1，1，0），=（0，2，-1）

||=，|=，|

所以cos＜，＞==．

所以，AC与PB所成的角余弦值为．

（2）∵M（0，1，），=（0，1，），=（1，1，0），=（0，2，0），

∴面ACM的法向量为=（x，y，z），

，，=（1，-1，2），

∴cos＜，＞==，

∴直线AB与面ACM所成角的正弦值．

题型：填空题

填空题

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱B1C1，AD的中点，则直线MN与底面ABCD所成角的大小是______．

正确答案

45°（或）

解析

解：连接AB1，

∵M，N分别是棱B1C1，AD的中点，

∴AB1∥MN，

∴直线AB1与底面ABCD所成角等于直线MN与底面ABCD所成角

∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，

∴直线MN与底面ABCD所成角为45°

故答案为45°．

题型：填空题

填空题

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为______．

正确答案

解析

解：过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF．

∵EF⊥BC，CC1⊥BC

∴EF∥CC1，而CC1⊥平面ABCD

∴EF⊥平面ABCD，

∴∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角（4分）

由题意，得EF=．

∵（8分）

∵EF⊥DF，∴．（10分）

故答案为．

继续学习学习下一知识点

下一知识点 : 平面与平面垂直的判定与性质

百度题库 > 高考 > 数学 > 直线与平面所成的角

扫码查看完整答案与解析