直角三角形的射影定理
共75题

直角三角形的射影定理
共75题

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题型：填空题

填空题

如图AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为 ______度．

正确答案

解析

解：连接OC，

∴∠OCD=90°，

∴∠COB=2∠A=60°，

∴∠D=90°-∠COB=30°．

故答案为：30．

题型：单选题

单选题

如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE的度数是（　　）

A55°

B60°

C65°

D70°

正确答案

解析

解：∠B=180°-∠A-∠C=180-100°-30°=50°

∠BDO+∠BEO=180°

∴B、D、O、E四点共圆

∴∠DOE=180°-∠B=180°-50°=130°

又∵∠DFE是圆周角，∠DOE是圆心角

∠DFE=∠DOE=65°

故选C

题型：填空题

填空题

如图，是⊙O的一段劣弧，弦CD平分∠ACB交于点D，BC切于点C，延长弦AD交 BC于点B，

（1）若∠B=75°，则∠ADC=______；

（2）若⊙O的半径长为，CD=3，则BD=______．

正确答案

110°

解析

解：（1）设∠A=α

由题意可得，∠ADC=∠B+∠BCD=75°+∠BCD

∵BC切于点C，CD平分∠ACB

由弦切角定理可得，∠A=∠BCD=∠ACD

∵∠A+∠BDC+∠BCD=180°

∴75°+α+α+α=180°

∴α=35°

∴∠ADC=75°+α=110°

（2）由题意可得，∠ACD=∠CAD=∠BCD=α

∵△ADC为圆的内接三角形

由正弦定理可得，

∴sin，cos

△BCD中，∠CDB=2α

由正弦定理可得，

∴=2cosα=

由切割线定理可得，BC2=BD•BA

即

∴BD=

故答案为：110°，

题型：简答题

简答题

如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧的中点，连接AD并延长，与过C点的切线交于P，OD与BC相交于点E．

（Ⅰ）求证：OE=AC；

（Ⅱ）求证：=．

正确答案

（Ⅰ）证明：因为AB为⊙O直径，

所以∠ACB=90°，即 AC⊥BC，

因为D是弧的中点，由垂径定理

得OD⊥BC，因此OD∥AC （3分）

又因为点O为AB的中点，所以点E为

BC的中点，所以OE=AC （2分）

（Ⅱ）证明：连接CD，因为PC是⊙O的切线，

所以∠PCD=∠CAP，

又∠P是公共角，

所以△PCD∽△PAC．

得，

∴，

∴．（3分）

因为D是弧的中点，所以CD=BD，因此．（2分）

解析

（Ⅰ）证明：因为AB为⊙O直径，

所以∠ACB=90°，即 AC⊥BC，

因为D是弧的中点，由垂径定理

得OD⊥BC，因此OD∥AC （3分）

又因为点O为AB的中点，所以点E为

BC的中点，所以OE=AC （2分）

（Ⅱ）证明：连接CD，因为PC是⊙O的切线，

所以∠PCD=∠CAP，

又∠P是公共角，

所以△PCD∽△PAC．

得，

∴，

∴．（3分）

因为D是弧的中点，所以CD=BD，因此．（2分）

题型：填空题

填空题

如图，△ABC内接于⊙O，∠C=40°，则∠ABO=______度．

正确答案

解析

解：△AOB中，OA=OB，

∴∠ABO=（180°-∠AOB）；

又∵∠AOB=2∠C=80°，

∴∠ABO=50°．

故答案为：50．

题型：简答题

简答题

如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．

求证：

（1）BE•DE+AC•CE=CE2；

（2）E，F，C，B四点共圆．

正确答案

证明：（1（连接CD，如图所示：

由圆周角定理，我们可得∠C=∠B

又由∠BEC为△ABE与△CDE的公共角，

∴△ABE∽△CDE，

∴BE：CE=AE：DE，

∴BE•DE=CE•AE

∴BE•DE+AC•CE=CE2…（5分）

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ECB=90°，∴CD=BE，

∵EF⊥BF，∴FD=BE，

∴E，F，C，B四点与点D等距，

∴E，F，C，B四点共圆 …（10分）

解析

证明：（1（连接CD，如图所示：

由圆周角定理，我们可得∠C=∠B

又由∠BEC为△ABE与△CDE的公共角，

∴△ABE∽△CDE，

∴BE：CE=AE：DE，

∴BE•DE=CE•AE

∴BE•DE+AC•CE=CE2…（5分）

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ECB=90°，∴CD=BE，

∵EF⊥BF，∴FD=BE，

∴E，F，C，B四点与点D等距，

∴E，F，C，B四点共圆 …（10分）

题型：填空题

填空题

如图，圆心角∠AOB=120°，P是上任一点（不与A，B重合），点C在AP的延长线上，则∠BPC等于 ______．

正确答案

60°

解析

解：设点E是优弧AB（不与A、B重合）上的一点，

∵∠AOB=120°，

∴∠AEB=60°，

∵∠BPA=180°-∠AEB=180°-∠BPC，

∴∠BPC=∠AEB．

∴∠BPC=60°．

故答案为60°．

题型：简答题

简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F．

（Ⅰ）证明：A、E、F、M四点共圆；

（Ⅱ）证明：AC2+BF•BM=AB2．

正确答案

证明：（I）如图所示．

连接AM，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB=90°．

∴∠AMB+∠AEF=180°，

∴A、E、F、M四点共圆；

（II）连接AC，BC．

由A、E、F、M四点共圆，∴BF•BM=BE•BA．

连接AC，BC．则∠ACB=90°．

又CD⊥AB．

∴AC2=AE•AB．

∴AC2+BF•BM=AE•AB+BE•AB=AB2．

解析

证明：（I）如图所示．

连接AM，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB=90°．

∴∠AMB+∠AEF=180°，

∴A、E、F、M四点共圆；

（II）连接AC，BC．

由A、E、F、M四点共圆，∴BF•BM=BE•BA．

连接AC，BC．则∠ACB=90°．

又CD⊥AB．

∴AC2=AE•AB．

∴AC2+BF•BM=AE•AB+BE•AB=AB2．

题型：填空题

填空题

如图，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，交半圆于点D，AD交OC于点E，则∠AEO的度数是 ______度．

正确答案

67.5

解析

解：∵OD平分∠BOC，且∠BOC=90°，

∴∠BOD=∠BOC=45°；

∴∠OAD=∠BOD=22.5°；

Rt△AEO中，∠AOE=90°，则∠AEO=90°-∠OAE=67.5°．

故答案为：67.5．

题型：单选题

单选题

如图所示，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若AD=3，AC=2，则cosD的值为（　　）

正确答案

解析

解：∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD=90°．

∵AD=3，AC=2，

∴CD=．

∴cosD==．

故选B．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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