- 直角三角形的射影定理
- 共75题
正确答案
2
解析
解：
∴
设BE=x，则DE=5-x，EC=
连接BC，则∠ACB=90°；
Rt△BCE中，BE=x，EC=
在Rt△ABC中，AC=AE+EC=10-
由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2，
即：72=（10-
整理，得x2-10x+17=0，解得x1=5+2 
由于x＜5，故x=5-2 
则DE=BD-BE=2 
故答案为2
方法二：
设DE=x，连接AD
∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，∴△AEB∽△DEC；
∴
在Rt△ADB中，AD2=49-25=24
在Rt△ADE中，AD2=-x2+（2x）2=24，解得x=
故答案为：2
正确答案
∵四边形AODB内接于圆，∠ADB=100°，
∴∠AOB=180°-100°=80°，
∵∠ACB=
∴∠ACB=
故答案为40°．
解析
∵四边形AODB内接于圆，∠ADB=100°，
∴∠AOB=180°-100°=80°，
∵∠ACB=
∴∠ACB=
故答案为40°．
求证：∠DEA=∠DFA．
正确答案
∴∠ADB=90°，
又EF⊥AB，∠EFA=90°
∴A、D、E、F四点共圆．
∴∠DEA=∠DFA．
解析
∴∠ADB=90°，
又EF⊥AB，∠EFA=90°
∴A、D、E、F四点共圆．
∴∠DEA=∠DFA．
正确答案
30
解析
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC；
又∵△ABC是等边三角形，
∴DA平分∠BAC，即∠DAC=
故答案为：30．
（1）求证：∠NBD=∠DBM；
（2）求证：AM是∠BAC的角平分线．
正确答案
证明：（1）∵BN=BM，
又∵AB是⊙O的一条直径，∴∠ADB=90°．
∴∠NBD=∠DBM；
（2）∵BM是⊙O的切线，∴∠MBD=∠DAB．
∵∠DBC与∠FAC所对的圆弧都是
∴∠DBC=∠FAC，
∵∠NBD=∠DBM，
∴∠DAC=∠DAB．
∴AM是∠BAC的角平分线．
解析
证明：（1）∵BN=BM，
又∵AB是⊙O的一条直径，∴∠ADB=90°．
∴∠NBD=∠DBM；
（2）∵BM是⊙O的切线，∴∠MBD=∠DAB．
∵∠DBC与∠FAC所对的圆弧都是
∴∠DBC=∠FAC，
∵∠NBD=∠DBM，
∴∠DAC=∠DAB．
∴AM是∠BAC的角平分线．
如图，已知∠ACB=∠CDB=60°，AC=1，△ABC的面积S是______．
正确答案
解析
解：由题意知∠ACB=∠CDB=60°，结合圆周角定理知必有AB=BC，由此知三角形为正三角形，
又AC=1
故面积为
故答案为：
（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．
正确答案
AD×AB=mn=AE×AC，
即
又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
∴C，B，D，E四点共圆．
（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12．
故AD=2，AB=12．
取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．
∵C，B，D，E四点共圆，
∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．
由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=
故C，B，D，E四点所在圆的半径为5
解析
AD×AB=mn=AE×AC，
即
又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
∴C，B，D，E四点共圆．
（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12．
故AD=2，AB=12．
取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．
∵C，B，D，E四点共圆，
∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．
由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=
故C，B，D，E四点所在圆的半径为5
在⊙O中，弦AB=1.8cm，圆周角∠ACB=30°，则⊙O的直径等于（ ）
正确答案
解析
解：由题意，根据正弦定理：
故选C．
（1）求证：DF垂直且平分AC；
（2）求证：FC=CE；
（3）若弦AD=5cm，AC=8cm，求⊙O的半径．
正确答案
∴DF是⊙O的直径所在的直线，
∴DF⊥DE，
又∵AC∥DE，
∴DF⊥AC，
∴G为AC的中点，即DF平分AC，则DF垂直平分AC；（2分）
（2）证明：由（1）知：AG=GC，
又∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠FCG；
又∵∠AGD=∠CGF，
∴△AGD≌△CGF（ASA），（4分）
∴AD=FC；
∵AD∥BC且AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE，
∴FC=CE；（5分）
（3）解：连接AO，
∵AG=GC，AC=8cm，
∴AG=4cm；
在Rt△AGD中，由勾股定理得GD2=AD2-AG2=52-42=9，
∴GD=3；（6分）
设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3，
在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2=OG2+AG2，
有：r2=（r-3）2+42，
解得r=
∴⊙O的半径为
解析
∴DF是⊙O的直径所在的直线，
∴DF⊥DE，
又∵AC∥DE，
∴DF⊥AC，
∴G为AC的中点，即DF平分AC，则DF垂直平分AC；（2分）
（2）证明：由（1）知：AG=GC，
又∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠FCG；
又∵∠AGD=∠CGF，
∴△AGD≌△CGF（ASA），（4分）
∴AD=FC；
∵AD∥BC且AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE，
∴FC=CE；（5分）
（3）解：连接AO，
∵AG=GC，AC=8cm，
∴AG=4cm；
在Rt△AGD中，由勾股定理得GD2=AD2-AG2=52-42=9，
∴GD=3；（6分）
设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3，
在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2=OG2+AG2，
有：r2=（r-3）2+42，
解得r=
∴⊙O的半径为
正确答案
解析
解：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，
在Rt△OCD中，又CD=OC，∴∠COD=45°．
∵OC=OA，∴
∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°．
故选D．
扫码查看完整答案与解析