平面向量的线性运算
共263题

平面向量的线性运算
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题型：简答题

简答题

如图所示，△ABC中，=，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上中线，交DE于N.设=a，=b，用a,b分别表示向量，，，，，.

正确答案

==b，=b-a，=(b-a)，=(b-a)，=a+(b-a)

=(a+b)，=(a+b)

==b.

=-=b-a.

由△ADE∽△ABC，得==(b-a).

由AM是△ABC的中线，∥BC，得

==(b-a).

而且=+=a+=a+(b-a)=(a+b).

==(a+b).

题型：填空题

填空题

在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边，且3a ＋4b＋5c＝0，则a∶b∶c＝________．

正确答案

20∶15∶12.

∵ 3a ＋4b＋5c＝0，∴ 3a(＋)＋4b＋5c＝0，∴ (3a－5c) ＋(3a－4b) ＝0.

∵ 在△ABC中，

∴ 、不共线，∴ 解得

∴ a∶b∶c＝a∶a∶a＝20∶15∶12.

题型：填空题

填空题

已知a、b为非零向量，，若，当且仅当时，取得最小值，则向量a、b的夹角为___________.

正确答案

试题分析：设向量的夹角为，则，构造函数，因为当且仅当时，取得最小值，所以当时，函数有最小值，即时，函数有最小值，又，所以解得.

题型：填空题

填空题

已知平面向量，且满足，则的取值范围为 ▲ .

正确答案

[1,3]

，设,则

题型：简答题

简答题

设平面向量,若存在实数和角,其中，使向量,且.

(1).求的关系式;

(2).若,求的最小值,并求出此时的值.

正确答案

（1）

（2）时，为极小值也是最小值,最小值为.

(1)∵,且，∴

∴

(2)设,又∵，∴，则

令得(舍去)

∴时,时,∴时,即时，

为极小值也是最小值,最小值为.

题型：填空题

填空题

已知e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝2e1－5e2，＝λe1－e2.若三点A、B、D共线，则λ＝________．

正确答案

∵ A、B、D共线，∴ 与共线，∴ 存在实数μ，使＝μ.∵ ＝－＝(λ－2)e1＋4e2，∴ 3e1＋2e2＝μ(λ－2)e1＋4μe2，

∴

题型：填空题

填空题

_________

正确答案

略

题型：简答题

简答题

( 本题满分12分)已知为的外心，以线段为邻边作平行四边形，第四个顶点为,再以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为.

(1) 若,试用表示；（2）证明：；

（3）若的外接圆的半径为，用表示.

正确答案

(Ⅰ) (Ⅱ) 略（Ⅲ）

（1）由平行四边形法则可得：即

（2）O是的外心，∣∣=∣∣=∣∣，

即∣∣=∣∣=∣∣,而，

=∣∣-∣∣=0，……..8分

（3）在中,O是外心A=，B= 于是 ∣∣2=（=

+2+2=（），

题型：简答题

简答题

若a,b为非零向量且a∥b,1,2∈R,且12≠0.

求证：1a+2b与1a-2b为共线向量.

正确答案

证明见解析

证明设a=(x1,y1),b=(x2,y2).

∵a∥b,b≠0,a≠0,∴存在实数m,使得a=mb,

即a=(x1,y1)=(mx2,my2),

∴1a+2b=((m1+2)x2,(m1+2)y2)

=(m1+2)(x2,y2)

同理1a-2b=(m1-2)(x2,y2),

∴(1a+2b)∥(1a-2b)∥b,

而b≠0,∴(1a+2b)∥(1a-2b).

题型：填空题

填空题

设两个向量＝(λ，λ－2cosα)和＝(m，＋sinα)，其中λ、m、α为实数．若＝2，则的取值范围是 .

正确答案

因为＝2,所以,所以.

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