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见答案

平面BEG∥平面ACH.证明如下

因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG

又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH

于是BCEH为平行四边形

所以BE∥CH

又CH平面ACH，BE平面ACH，

所以BE∥平面ACH

同理BG∥平面ACH

又BE∩BG＝B

所以平面BEG∥平面ACH

(Ⅲ)连接FH

因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH

因为EG平面EFGH，所以DH⊥EG

又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD

又DF平面BFDH，所以DF⊥EG

同理DF⊥BG

又EG∩BG＝G

所以DF⊥平面BEG.

(1)在梯形中，

∵∥，

∴  ∴

∴∴  ∵平面平面

平面平面，

∴

∴又

∴

解：

（2）由（1）知⊥平面

∵ //, ∴且

∴

利用线面垂直的判定定理证得结论成立；

证明：∵AB=AC=2，D是的中点．

∴，

∵BC∥，

∴，

∵⊥面ABC，∥AO，

∴

∵BC∩AO=O，

∴⊥平面；

建立坐标系如图

∵在三棱柱中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，

∴O（0，0，0），B（0，，0），，

即，，，

设平面的法向量为，

，即得出，

得出，，

∴，

可得出直线和平面所成的角的正弦值.

试题分析：先由已知易得，再注意平面平面，且交线为，由面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质可得到，再注意到，而，从而有，那么由线面垂的判定定理可得平面，

试题解析：证明：如题（20）图.由知，为等腰中边的中点，故，

又平面平面，平面 平面，平面，，

所以平面，从而.

因.

从而与平面内两条相交直线，都垂直，

所以平面.

试题分析：（Ⅱ）设则可用将四棱锥的体积表示出来，由已知其体积等于7，从而得到关于的一个一元方程，解此方程，再注意到即可得到的长．

试题解析：（2）设,则在直角中，

.从而

由，知，得,故，

即.

由,,

从而四边形DFBC的面积为 

由（1）知，PE 平面，所以PE为四棱锥P-DFBC的高.

在直角中，,

体积,

故得，解得，由于，可得.

所以或.

（Ⅰ）证明：如图，因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1.

又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.

又，因此AE⊥平面B1BCC1.

而AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.

（Ⅱ）设AB的中点为D，连接A1D，CD.

因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB.

又三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1.

又，因此CD⊥平面A1ABB1，

于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角．　　　　　　　

由题设，∠CA1D＝45°，所以A1D＝CD＝.

在Rt△AA1D中，AA1＝

故三棱锥F AEC的体积V＝