热门试卷

(1)

如图，设所求椭圆的标准方程为(a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)。

因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|＝|OB2|，得，结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率.

在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.

由题设条件得b2＝4，从而a2＝5b2＝20，

因此所求椭圆的标准方程为.

(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)，由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x＝my－2.代入椭圆方程得

(m2＋5)y2－4my－16＝0.(*)

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此，.

又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，

所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2

＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2

＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16

＝

＝.

由PB2⊥QB2，知·＝0，即16m2－64＝0，

解得m＝±2.

当m＝2时，方程(*)化为9y2－8y－16＝0，

故，，，

△PB2Q的面积S＝|B1B2|·|y1－y2|＝.

当m＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB2Q的面积.

综上所述，△PB2Q的面积为.

（1）∵是直三棱柱，∴平面。

又∵平面，∴。

又∵平面，∴平面。

又∵平面，∴平面平面。

（2）∵，为的中点，∴。

又∵平面，且平面，∴。

又∵平面，，∴平面。

由（1）知，平面，∴∥。

又∵平面平面，∴直线平面

证明：（1）连接，在直角梯形中，由，，得

由，得，即

又平面平面，从而平面

（2）在直角梯形中，由，得，

又平面平面，所以平面

做，与延长线交于，连接，则平面，所以是直线与平面所成的角

在中，由，得；

在中，由，得；

在中，由，得；

所以，直线与平面所成的角的正切值是

（1）因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，

所以PA⊥底面ABCD.

（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以ABED为平行四边形。

所以BE∥AD.

又因为BE平面PAD，AD平面PAD，

所以BE∥平面PAD.

（3）因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，

所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由（1）知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.

所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点，

所以PD∥EF.所以CD⊥EF.

所以CD⊥平面BEF.

所以平面BEF⊥平面PCD.