函数性质的综合应用
共80题

· 函数性质的综合应用

函数性质的综合应用
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题型：简答题

简答题 · 13 分

设函数.

25.讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；

26.记，求函数在上的最大值D；

27.在（Ⅱ）中，取，求满足时的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）极小值为

解析

（Ⅰ），.

，.

因为，所以.

①当时，函数单调递增，无极值.

②当时，函数单调递减，无极值.

③当，在内存在唯一的，使得.

时，函数单调递减；时，函数单调递增.

因此，，时，函数在处有极小值.

考查方向

1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.

解题思路

（Ⅰ）将代入为，.

求导得，.因为，所以.按的范围分三种情况进行讨论：①当时，函数单调递增，无极值.②当时，函数单调递减，无极值.③当，在内存在唯一的，使得.时，函数单调递减；时，函数单调递增.因此，，时，函数在处有极小值.

易错点

函数求导错误，分类讨论能力弱，计算能力弱

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

：

（Ⅱ）时，，

当时，取，等号成立，

由此可知，函数在上的最大值为.

考查方向

1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.

解题思路

当时，依据绝对值不等式可知，从而能够得出函数在上的最大值为.

易错点

绝对值不等式性质运用错误，计算错误，不会合理放缩不等式

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）1.

解析

（Ⅲ），即，此时，从而.

取，则，并且.

由此可知，满足条件的最大值为1.

考查方向

1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.

解题思路

（Ⅲ）当，即，此时，从而.依据式子特征取，则，并且.由此可知，满足条件的最大值为1

易错点

平均值不等式的性质，计算能力弱

题型：简答题

简答题 · 4 分

5. 已知点在函数的图像上，则的反函数____________

正确答案

解析

，故，

∴

知识点

函数性质的综合应用反函数

题型：简答题

简答题 · 4 分

7. 方程在区间上的解为________________

正确答案

解析

，即

∴

知识点

函数性质的综合应用函数零点的判断和求解

题型：简答题

简答题 · 14 分

设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中e为自然对数的底数.

24.求，的解析式，并证明：当时，，；

25.设，，证明：当时，.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ），.证明：当时，，，故

又由基本不等式，有，即

解析

（Ⅰ）由, 的奇偶性及,①得： ②

联立①②解得，.

当时，，，故 ③

又由基本不等式，有，即 ④

考查方向

1、导数在研究函数的单调性与极值中的应用；

解题思路

（Ⅰ）将等式中用来替换，并结合已知是奇函数，是偶函数可得于是联立方程组即可求出的表达式；当时，由指数与指数函数的性质知，，进而可得到然后再由基本不等式即可得出

易错点

导函数计算出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

⑤⑥

当时，等价于 ⑦ 等价于

⑧于是设函数，由⑤⑥，有

当时，（1）若，由③④，得，故在上为增函数，从而，即，故⑦成立.（2）若，由③④，得，故在上为减函数，从而，即，故⑧成立.综合⑦⑧，得 .

解析

（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ⑤

， ⑥

当时，等价于， ⑦

等价于 ⑧

设函数，由⑤⑥，有

当时，（1）若，由③④，得，故在上为增函数，从而，即，故⑦成立.（2）若，由③④，得，故在上为减函数，从而，即，故⑧成立.综合⑦⑧，得 .

考查方向

函数的基本性质；

解题思路

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，.于是要证明，即证，也就是证明，即证于是构造函数，利用导数在函数的单调性与极值中的应用即可得出结论成立.

易错点

计算量大。

题型：简答题

简答题 · 12 分

设函数．

25.讨论的单调性；

26.证明当时，；

27.设，证明当时，.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；

解析

（I）由题设，的定义域为，，令，解得

当时，，单调递增；当时，，单调递减

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（I）首先求出导函数，然后通过解不等式或可确定函数的单调性

易错点

对利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法理解出现错误、计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）（II）由（I）知，在处取得最大值，最大值为，所以当时，

，故当时，即。

解析

（II）由（I）知，在处取得最大值，最大值为，所以当时，

，故当时，即。

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（II）左端等式可利用（I）的结论证明，右端将左端的换为即可证明；

易错点

对利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法理解出现错误、计算错误

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）（III）由题设，，则，令

解得；当，单调递增，当，，单调递减，由（II）知，，故，又，故当时，，所以当时，

解析

（III）由题设，，则，令

解得；当，单调递增，当，，单调递减，由（II）知，，故，又，故当时，，所以当时，

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

变形所证不等式构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理

易错点

对利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法理解出现错误、计算错误

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