函数性质的综合应用
共80题

· 函数性质的综合应用

函数性质的综合应用
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数，(其中).

25.如果函数和有相同的极值点，求的值，并直接写出函数的单调区间；

26.令，讨论函数在区间上零点的个数。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）或；

当时,的递增区间为,,递减区间为

当时,的递增区间为,递减区间为. ;

解析

(Ⅰ),则,

令,得或,而二次函数在处有极大值,

所以或,解得或；

当时,的递增区间为,,递减区间为.

当时,的递增区间为,递减区间为.

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，判断函数零点的个数等知识。意在考查考生的综合解决问题的能力和分类讨论的思想。

解题思路

先求导后得到原函数的极值点后结合二次函数即可求得a的值，后面利用常用的方法求单调区间；

易错点

不理解函数和有相同的极值点导致无法求出a的值；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）当或时，函数有唯一零点；

当时，函数有两不相等的零点。

解析

(Ⅱ)

令,,

当即时，无实根，故的零点为，满足题意，

即函数有唯一零点；

当即或时,

若，则的实数解为，故在区间上有唯一零点；

若，则的实数解为，故在区间上有两零点，或；

当即或时，

若，由于，

此时在区间上有一实数解，故在区间上有唯一零点；

若时，由于，

当即时，数形结合可知在区间上有唯一实数解，

故在区间上有唯一零点；

若即时，由于的对称轴为，故，

又且，

所以在区间上有两个不等零点.

综上，当或时，函数有唯一零点；

当时，函数有两不相等的零点。

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，判断函数零点的个数等知识。意在考查考生的综合解决问题的能力和分类讨论的思想。

解题思路

按照判别式分类讨论各种情况下零点的个数。

易错点

不会确定分类的标准。

题型：单选题

单选题 · 5 分

8.已知函数,.若图象上存在两个不同的点与图象上两点关于轴对称，则的取值范围为（）

正确答案

解析

设，由题意可知，设在上必有两个负根，，设上不可能有两个负A根，可排除A,B, 上为增函数，(-1,0)上为减函数，F(-1)是极大值，F(-1)=-1<0, 不可能有两个负根排除答案C，所以选择D.

考查方向

考察函数图像的对称性，构造函数及用导数解决函数和零点问题

解题思路

先设点，后转化方程，得到一个方程有两个负根的问题，然后再构造一个新函数，运用导数来判断函数的有关零点问题

易错点

不能正确理解题目中的对称问题，进而在问题转化过程中进行不下去，对不同情况进行分类讨论不全

知识点

函数性质的综合应用函数图象的应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数的图像在点处的切线为．

27.求函数的解析式；

28.当时，求证：；

29.若对任意的恒成立，求实数的取值范围；

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

，由已知解得，故

考查方向

利用导数求最值和极值；利用导数研究函数的图像特征;

解题思路

先根据导数的性质求切线的斜率，进而求出参数的值，得到函数的解析式,利用导数的性质作出函数大致图像,结合图像,利用分类讨论思想求K的取值范围.

易错点

求导错误，函数性质理解错误;分类讨论有重有漏

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

令，由得

当时，，单调递减；当时，，单调递增

∴，从而

考查方向

利用导数求最值和极值；利用导数研究函数的图像特征;

解题思路

先根据导数的性质求切线的斜率，进而求出参数的值，得到函数的解析式,利用导数的性质作出函数大致图像,结合图像,利用分类讨论思想求K的取值范围.

易错点

求导错误，函数性质理解错误;分类讨论有重有漏

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

对任意的恒成立对任意的恒成立

令,∴由28题可知当时，恒成立令，得；得∴的增区间为，减区间为，∴，∴实数的取值范围为

考查方向

利用导数求最值和极值；利用导数研究函数的图像特征;

解题思路

先根据导数的性质求切线的斜率，进而求出参数的值，得到函数的解析式,利用导数的性质作出函数大致图像,结合图像,利用分类讨论思想求K的取值范围.

易错点

求导错误，函数性质理解错误;分类讨论有重有漏

题型：简答题

简答题 · 15 分

对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．

已知函数.

18.是“可等域函数”，求函数的“可等域区间”；

若区间的“可等域区间”，求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：（Ⅱ）

因为区间为的“可等域区间，所以

考查方向

考察函数的新信息题，具体涉及到函数的定义域，值域，图像等性质

解题思路

先确定函数的值域，利用“可等域函数”，结合函数的图象，可得函数的“可等域区间”为

易错点

对新信息理解到位易出错，对函数的综合性质应用不熟练易出现，分类与解题逻辑上的错误，数形结合应用易出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

考查方向

考察函数的新信息题，具体涉及到函数的定义域，值域，图像等性质

解题思路

利用“可等域区间”的定义，得出a>0,结合图象，利用区间与对称轴的关系及函数的单调性求出a,b

易错点

对新信息理解到位易出错，对函数的综合性质应用不熟练易出现，分类与解题逻辑上的错误，数形结合应用易出错

题型：单选题

单选题 · 5 分

11．已知函数定义在R上的奇函数，当时，，给出下列命题：

①当时，

②函数有2个零点

③的解集为

④，都有

其中正确命题个数是（）

正确答案

解析

因为f(x)为R上的奇函数，设x>0，-x<0,则，所以1错误，因为，所以f(x)有三个零点，所以2错误，，因为当，

当所以所以解集为，所以3正确。

同理判断4正确，所以选B

考查方向

函数的性质及应用；导数的综合应用；函数奇偶性的性质

解题思路

根据函数的相关性质，结合子题目，依次判断

易错点

求导错误；

知识点

函数性质的综合应用函数零点的判断和求解

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下一知识点 : 函数的值

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